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Qui suis-je ? / Who am I?

Je suis directrice d'un département d'ingénierie solution chez THALES Communications & Security, au sein duquel nous réalisons les ingénieries systèmes bout en bout des solutions de communications pour les forces armées : Armée de l'Air, Marine nationale et Armée de Terre. J'y contribue à fournir des solutions modernes et résiliente de communications aux forces, à y insérer les innovations technologiques en ligne avec l'état de l'art, et à développer de manière continue les équipes techniques pour que leur travail soit à la fois passionnant et utile. Précédemment, j'ai occupé différents rôles de directrice technique, architecte système et responsable de projets toujours autour des solutions de communications radio-mobiles, en particulier dans le domaine aéro-naval militaire, mais aussi pour des usages civils. Mes sujets d'intérêt techniques concernent les enjeux d'architecture et d'optimisation des moyens de transmissions, et vous pourrez trouver plus de détails sur les sujets non-classifiés sur lesquels j'ai travaillé dans l'oblet "Mes travaux".

I am the director of a solution engineering department at THALES Communications & Security, where we carry out end-to-end system engineering communications solutions for the armed forces: Air Force, Navy and Army. In this position, I contribute to provide modern and resilient communications solutions to the forces, to insert technological innovations in line with the state of the art, and to continuously develop the technical teams so that their work is both exciting and useful. Previously, I have held various roles as technical director, system architect and project manager always around mobile radio communication solutions, in particular in the military air and naval domain, but also for civilian uses. My technical interests are related to the architecture and optimisation of communications systems, and you can find more details on the unclassified topics I have worked on in the "Mes travaux" section.

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Dernière modification : 11 septembre 2022
Last modification: September, 11th, 2022

LES RÉSEAUX DE POINTS : une introduction


Table des matières


1. Introduction

2. Définition et présentation des réseaux de points
2.1 Paramètres fondamentaux
2.2 Performances des réseaux de points sur le canal à bruit additif blanc gaussien
2.3 Performances des réseaux de points sur le canal avec évanouissement de Rayleigh

3. Décodage par sphères
3.1 Décodage par sphères en présence d'un bruit blanc gaussien
3.2 Décodage par sphères en présence d'un évanouissement de Rayleigh

4. Construction des réseaux de points
4.1 Constructions A, B et D
4.2 Les réseaux de Barnes-Wall

5. Décodage à sortie souple des réseaux de points selon le critère MMSE
5.1 Détermination du détecteur à retour de décision (DFE)
5.2 Résultats de simulation

6. Conclusions

1. Introduction

Un réseau de points (lattice) est constitué de centres de sphères empilées possédant une structure de groupe [27]. Utilisés en mathématiques pour les travaux sur les corps finis, les groupes et les formes quadratiques, mais aussi en chimie, où les cristallographes les emploient afin de modéliser le comportement de certains composés chimiques, ils servent également en communications numériques à construire des modulations tant sur le canal à bruit additif blanc gaussien (ou canal AWGN) que sur les canaux à évanouissements (Rice, Rayleigh).

En effet, en utilisant des empilements très denses, il est possible de construire des modulations de grande taille à énergie minimale, permettant ainsi d'effectuer des transmissions à haut débit binaire. Les constellations multidimensionnelles ainsi extraites des réseaux de points connaissent depuis l'apparition des modulations codées au début des années 1980 un grand succès dans le monde des transmissions sur le canal AWGN. Elles ont également été exploitées pour des applications filaires (tels le réseau de Gosset $E_8$ ou le réseau Leech $\Lambda_{24}$ avec lesquels ont été construits des modems [46]). Plus récemment, avec le développement des transmissions radiomobiles pour lesquelles les réseaux performants sur le canal AWGN se sont révélés décevants, on a pu voir l'utilité des réseaux de points à grande diversité, qui permettent de récupérer l'information perdue au cours de la transmission en tirant partie de la redondance liant les composantes d'un point d'un tel réseau.

Après un rappel des définitions et résultats élémentaires sur les réseaux de points au paragraphe 2, et du fonctionnement du décodage des réseaux de points grâce à l'algorithme de décodage par sphères (Sphere Decoder) au paragraphe [*], nous décrirons au paragraphe [*] les méthodes de construction les plus classiques des réseaux de points à partir de codes correcteurs d'erreur, et introduirons les réseaux de Barnes-Wall. Le paragraphe [*]présentera alors le décodeur DFE de réseaux en grande dimension que nous avons réalisé, ainsi que des résultats de simulation. Finalement nous tirerons quelques conclusions au paragraphe [*].



2. Définition et présentation des réseaux de points

Un problème fort ancien auxquel les mathématiciens ont été confrontés est celui de déterminer une méthode permettant d'entasser le plus grand nombre de sphères dans un espace donné. La solution, qui serait triviale si il s'agissait de cubes, fut formalisée par Kepler en 1609 avec sa célèbre conjecture, mais ne fut finalement prouvée que tout récemment par Hales [41][57] : il faut, lorsque l'espace est très grand, ranger les boules en couches planes pavées par un motif de triangles équilatéraux pour obtenir l'empilement le plus dense qui soit en dimension $3$. Dans ce rangement, les centres des sphères constituent un groupe algébrique, appelé réseau cubique à faces centrées (fcc) (ou réseau de Kepler, présenté en figure [*]). Le volume occupé par les sphères représente alors $\pi/\sqrt{18} \approx 74.048\%$ de l'espace total.

Figure: Empilement cubique à faces centrées (vu de dessus).
\begin{figure}\begin{center}\epsfig{file=chapter1/fcc.eps}\end{center}\end{figure}

Ce problème de recherche des empilements de sphères optimaux se généralise aisément en dimension supérieure à $3$, sans qu'il en soit hélàs de même pour la démonstration. Nous allons donc nous intéresser aux réseaux de points de dimension $n$, $n$ entier naturel.

Les notations suivantes seront utilisées : $\bbbn$ est l'ensemble des entiers naturels, $\bbbz$ l'ensemble des entiers relatifs, $\bbbr$ l'ensemble des réels, et $\bbbr^n$ l'espace euclidien réel de dimension $n$ muni de sa distance. ${\bf x} = (x_1, \dots, x_n)^t$ est un vecteur (ou point) de $\bbbr^n$ si ses composantes $x_i$ sont toutes des éléments de $\bbbr$. La notation $(\cdot)^t$, utilisé sur un vecteur ou une matrice indique la transposition. Pour tout réel $a \in \bbbr$, $a {\bf x}$ est le vecteur de composantes $(a x_i)$. La norme euclidienne d'un vecteur ${\bf x}$ est notée $\Vert {\bf x} \Vert$. Une sphère dans $\bbbr^n$, de rayon $\rho$ et de centre $u=(u_1, \dots ,u_n)$, est l'ensemble des points ${\bf x}$ vérifiant $\vert\vert{\bf x-u}\vert\vert^2=(x_1-u_1)^2+(x_2-u_2)^2+ \cdots +(x_n-u_n)^2=\rho^2$.

2.1 Paramètres fondamentaux

Nous allons commencer par définir les différents paramètres principaux d'un réseau de points, afin de pouvoir d'une part comprendre ce dont il s'agit, ce que ces réseaux représentent et comment les caractériser. Donnons tout d'abord la définition exacte d'un réseau de points :

Définition 2.1 (réseau de points)
Un réseau de points est un sous-groupe discret de rang $p$, $p \leq n$ de $\bbbr^n$.

Topologiquement, un réseau de points est donc également l'ensemble des vecteurs

\begin{displaymath}a_1 {\bf v}_1 + a_2 {\bf v}_2 + \cdots + a_p {\bf v}_p \quad a_1, \dots, a_p \in \bbbz\end{displaymath}

engendré par la famille de $p$ vecteurs indépendants ${\bf v}_1, {\bf v}_2, \dots, {\bf v}_p$ de $\bbbr^n$. C'est ce que l'on appelle encore un $\bbbz$-module engendré par les $p$ vecteurs ${\bf v}_1, {\bf v}_2, \dots, {\bf v}_p$.

Le réseau, que nous nommerons $\Lambda$ sauf indication contraire, peut être vu comme le groupe additif formé par les centres des boules de l'empilement. Par définition d'un groupe additif, le point ${\bf0}$ appartient à $\Lambda$, et de plus la topologie d'un groupe est invariante par toute translation d'un de ses éléments donc il nous suffira toujours d'étudier ce qui se passe autour de l'origine ${\bf0}$ pour connaître le comportement autour de tout point de $\Lambda$.

Définition 2.2 (base du réseau)
La famille des $p$ vecteurs ${\bf v}_1, \dots, {\bf v}_p$ constitue une base du réseau et $p$ est la dimension ou le rang de $\Lambda$.

Définition 2.3 (sous-réseau)
Un sous-réseau de $\Lambda$ est un sous-groupe de $\bbbr^n$ inclu dans $\Lambda$.
Un réseau est dit entier s'il est sous-réseau de $\bbbz^n$.

Définition 2.4 (constellation)
Une constellation $\mathcal{C}$ extraite d'un réseau de points $\Lambda$ est un sous-ensemble fini du réseau $\Lambda$.

Définition 2.5 (matrice génératrice)
Les vecteurs ${\bf v}_1, \dots, {\bf v}_p$ de la base du réseau de points forment les colonnes d'une matrice appelée matrice génératrice du réseau.
Écrivons ${\bf v}_i=(v_{i1}, \dots, v_{in})$ pour $i=1, \dots, p$. La matrice génératrice $M$ est alors la matrice $n \times p$ définie par
\begin{displaymath} M = ({\bf v}_1, \dots, {\bf v}_p) = \left( \begin{array... ...dots \\ v_{1n} & \cdots & v_{pn} \\ \end{array} \right) ~. \end{displaymath} (1)
Un point ${\bf x}=(x_1, x_2, \dots, x_n)^t$ du réseau peut donc être écrit comme ${\bf x}=M{\bf z}$ où ${\bf z}=(z_1, z_2, \dots, z_p)^t$ est un vecteur de $\bbbz^p$. Le réseau $\Lambda$ peut alors être vu comme le résultat d'une transformation linéaire définie par la matrice $M$ appliquée au réseau cubique $\bbbz^p$.

Définition 2.6 (matrice de Gram)
La matrice de Gram $G_\Lambda$ du réseau est la matrice définie par
\begin{displaymath} G_\Lambda = M^tM \end{displaymath} (2)
où $M$ est la matrice génératrice du réseau.

Les éléments $\varsigma_{ij}, i,j=1, \dots, p$ de la matrice de Gram d'un réseau sont les produits scalaires des paires de vecteurs de la base du réseau, à savoir $\varsigma_{ij} = {\bf v}_i.{\bf v}_j = \sum_{k=1}^{n} v_{ik} v_{jk}$. La matrice $G_\Lambda$ est définie positive et symétrique, ses éléments diagonaux étant égaux aux normes au carré des vecteurs de la base.

Définition 2.7 (parallélotope fondamental, volume fondamental)
La région de l'espace $P = \left\{ {\bf x} \in \bbbr^n ~/~{\bf x} = a_1 {\bf v}_1 + a_2 {\bf v}_2 + \cdots + a_p {\bf v}_p~,~ 0 \leq a_i < 1 \right\}$ est le parallélotope fondamental du réseau. Son volume fondamental est le volume du parallélotope fondamental, noté $vol(\Lambda)$.

Si le parallélotope fondamental d'un réseau n'est pas unique puisqu'il dépend du choix de la base du réseau, le volume fondamental est lui indépendant du choix de la base engendrant $\Lambda$. Dans le cas où $p=n$, le volume fondamental est encore égal à la valeur absolue du déterminant de la matrice génératrice $\vert det(M)\vert$, que l'on note souvent, par abus de langage, $det(\Lambda)$.

Figure: Exemple de cellule de Voronoï en dimension $3$.
file=chapter1/keplerfcc.eps
(a) : cellule de Voronoï d'une sphère dans l'empilement fcc.
file=chapter1/keplerdodecaedre.eps
(b) : dodécaèdre régulier recouvrant une sphère.

Définition 2.8 (cellule de Voronoï)
La région de l'espace associée à un point ${\bf u}$ d'un réseau $\Lambda$ définie par
\begin{displaymath} \mathcal{V}({\bf u}) = \left\{ {\bf x} \in \bbbr^n ~/~ \ver... ...t{\bf x} - {\bf y}\vert\vert ~,~ {\bf y} \in \Lambda \right\} \end{displaymath}(3)
est appelée cellule (ou région) de Voronoï (N.B. : Elle est également parfois nommée cellule de Dirichlet) de ${\bf u}$.

Les cellules de Voronoï d'un réseau pavent donc l'espace euclidien entièrement, remplissant l'espace compris entre les sphères de l'empilement. En figure [*]-a est présenté en exemple la cellule de Voronoï du réseau à faces cubiques centrées, qui comporte $12$ faces. À titre de comparaison, on a représenté en figure [*]-b le dodécaèdre régulier recouvrant la sphère.

Le réseau étant un groupe additif, on a la propriété de translation des cellules de Voronoï $\mathcal{V}({\bf0})+{\bf u}=\mathcal{V}({\bf u})$. Ainsi, toutes les cellules ont-elles le même volume puisqu'elles sont égales (à une translation près) à la cellule de Voronoï de l'origine $\mathcal{V}({\bf0})$. D'après la structure du réseau, le volume d'une cellule de Voronoï est égal au volume fondamental, $vol(\mathcal{V}({\bf0}))=vol(\Lambda)$. De plus, le réseau étant géométriquement uniforme [32], chaque cellule de Voronoï est strictement identique aux autres, donc on parlera de "la cellule de Voronoï" du réseau $\Lambda$.

Par la suite, nous ne considérerons que des réseaux engendrés par $p=n$ vecteurs. La figure [*] présente un exemple de réseau en dimension $2$, à savoir le réseau hexagonal $A_2$ ainsi que ses différents paramètres élémentaires. Continuons en introduisant des paramètres qui nous permettront de caractériser les performances de nos réseaux de points.

Figure: Le réseau hexagonal $A_2$.
file=chapter1/reseauA2.pst

Définition 2.9 (rayon d'empilement, rayon de recouvrement)
Le rayon d'empilement $\rho$ (resp. rayon de recouvrement) d'un réseau $\Lambda$ est le rayon de la plus grande (resp. la plus petite) sphère inscrite (resp. circonscrite) à la région de Voronoï.

Les sphères de l'empilement ont toutes le même rayon $\rho$. La distance minimale $d_{Emin}$ entre les points du réseau est alors donnée par :

$\displaystyle d_{Emin}=2\rho~.$ (4)

Définition 2.10 (densité d'un réseau)
La densité de remplissage d'un réseau, ou densité $\Delta$ est donnée par le rapport du volume de la sphère de rayon $\rho$ sur le volume fondamental
$\displaystyle \Delta = \frac{\mbox{volume d'une sphère}}{\mbox{volume fondamental}} = \frac{V_n \times \rho^n}{det(\Lambda)} ~.$ (5)
On définit également la densité centrée $\delta$, souvent plus facile à exprimer que la densité du réseau
$\displaystyle \delta=\frac{\Delta}{V_n}=\frac{\rho^n}{det(\Lambda)}$ (6)
où $V_n$ est le volume d'une sphère de dimension $n$ et de rayon unité, donné par la formule
$\displaystyle V_n=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)}= \left\{ \begin{array}{cl} \f... ... \\ \frac{2^n \pi^{(n-1)/2} ((n-1)/2)!}{n!} & n~ impair \end{array} \right. ~.$ (7)

Définition 2.11 (coefficient d'erreurs)
Le coefficient d'erreur $\tau(\Lambda)$ (kissing number) d'un réseau $\Lambda$est le nombre de sphères tangentes à une sphère donnée.

La valeur de $\tau(\Lambda)$ ne dépend pas de la sphère considérée en raison de la propriété de translation du réseau.

Définition 2.12 (série theta)
La série theta $ \Theta_\Lambda(z)$ d'un réseau $\Lambda$ est définie
$\displaystyle \Theta_\Lambda(z) = \sum\limits_{{\bf x} \in \Lambda} q^{\Vert {\bf x} \Vert^2} = \sum\limits_{u=0}^{+\infty} N_u q^u$ (8)
où , $ q=e^{j\pi z}$, $ j=\sqrt{-1} \in \bbbc$, $ u \in \bbbr^{+}$.
La série theta d'un réseau est une série de variable $ q$, dont les coefficients $ N_u$ représentent le nombre de points d'un réseau à distance euclidienne $u$ de l'origine.


2.2 Performances des réseaux de points sur le canal à bruit additif blanc gaussien

Le modèle du système de transmission utilisant une constellation extraite d'un réseau de point est présenté en figure [*]. Des bits d'informations, générés par une source binaire non représentée, sont étiquetés avant d'être placé en entrée d'un réseau (ou d'une rotation). Ce dernier génère un point ${\bf x}$ du réseau qui est émis sur un canal. Nous considérerons dans ce document deux types de canaux : le canal à bruit additif blanc gaussien et le canal de Rayleigh non sélectif à évanouissements indépendants. En sortie du canal, dont l'état (CSI) est fourni ou estimé par le récepteur, on procède à l'opération de détection et de décodage, d'où on tire les bits décodés. Pour notre calcul de performances, nous considérerons que le décodage suit le critère du maximum de vraisemblance (ML).

Figure: Le système de transmission.
file=chapter1/systemmodel.pst

Sur le canal à bruit additif blanc gaussien, la probabilité d'erreur par point d'un tel système décroit exponentiellement lorsque le rapport signal à bruit $E_b/N_0$ augmente. Pour une constellation cubique, la probabilité d'erreur est bornée par (voir [86], annexe A.1)

$\displaystyle P_e \leq \tau(\Lambda) Q \left( \sqrt{\frac{d^2_{Emin}}{\sqrt[n/2]{det(\Lambda)}} \frac{E_b}{N_0} \frac{3 \eta}{2^{\eta}} } \right)$ (9)
où $ Q(x)$ est la fonction erreur définie par $ Q(x) = \frac{1}{2} \erfc{\Big(\frac{x}{\sqrt{2}}\Big)} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{+\infty} e^{-x^2/2}dx \leq \frac{1}{2} \, e^{-x^2/2}$ et $\eta$ est l'efficacité spectrale par deux dimensions (soit le nombre de bits d'information émis par deux dimensions).

La borne sur la probabilité d'erreur nous conduit à introduire la notion de gain fondamental d'un réseau.

Définition 2.13 (gain fondamental)
On appelle gain fondamental d'un réseau en dimension $n$ le rapport
$\displaystyle \gamma(\Lambda) = \frac{d_{Emin}^2}{\sqrt[n/2]{det(\Lambda)}} = 4 \times \sqrt[n/2]{\delta}$ (10)
où $d_{Emin}$ est la distance euclidienne minimale de $\Lambda$, $det(\Lambda)$ son volume fondamental et $\delta$ sa densité centrée. Également appelé constante de Hermite [27], (pp. 71-74), ce rapport ne dépend que des caractéristiques du réseau (d'où son nom). Remarquons que $ \gamma(\bbbz^n) = 1$ : $\gamma(\Lambda)$ représente le gain du réseau $\Lambda$ comparativement au réseau des entiers de même dimension. Ce gain, déterminé par la haute densité du réseau, est le facteur crucial pour la probabilité d'erreur d'un réseau sur canal AWGN : plus le gain fondamental sera grand, meilleures pourront être les performances du réseau. On note, avec la deuxième expression du gain fondamental déduite de l'équation ([*]), que la seule connaissance de la densité centrée d'un réseau nous permet de calculer le gain fondamental de $\Lambda$ : cette densité est connue pour la plupart des réseaux utilisés à ce jour.

La formule ([*]) devient :

$\displaystyle P_e \leq \tau(\Lambda) Q \left( \sqrt{\frac{3 \eta}{2^{\eta}} \frac{E_b}{N_0} \gamma(\Lambda)}\right) ~.$ (11)

Intéressons nous donc plus à ce gain fondamental $\gamma(\Lambda)$ : il est invariant si nous transformons $\Lambda$ par une application composée d'une rotation, d'une symétrie et d'une homothétie : en effet, il est clair que les symétries ou les rotations ne changent pas la distance minimale, ni le volume fondamental. Et par ailleurs, une homothétie de rapport $ a$ multiplie $d_{Emin}$ par $ a$ et $det(\Lambda)$ par $a^n$, ce qui fait que le gain fondamental reste le même.

Lorsque la constellation $\mathcal{C}$ a une forme non cubique, le gain de $\mathcal{C}$ se trouve diminué ou augmenté suivant le moment de second ordre de la constellation. Ce moment d'ordre 2 n'est autre que l'énergie $ E_p$ (l'énergie moyenne par point) de $\mathcal{C}$. Cette énergie est très liée à la forme de la frontière de $\mathcal{C}$ dans $\bbbr^n$. On peut donc définir un nouveau gain, dit gain total de la constellation, qui tient compte des caractéristiques fondamentales du réseau $\Lambda$ et de la forme de la constellation.

Définition 2.14 (gain de forme, gain total)
Le gain total $\gamma(\mathcal{C})$ d'une constellation $\mathcal{C}$ issue d'un réseau de points $\Lambda$ est le produit du gain fondamental $\gamma(\Lambda)$par un coefficient $ \gamma_s(\mathcal{C})$ appelé gain de forme.
$\displaystyle \gamma(\mathcal{C})=\gamma(\Lambda) \times \gamma_s(\mathcal{C}) ~.$ (12)

Par définition, le gain de forme d'une constellation cubique est égal à 1. La forme sphérique minimise l'énergie moyenne de $\mathcal{C}$ en raison de la répartition homogène des distances à l'intérieur d'une hypersphère. Ainsi, le gain de forme $ \gamma_s(\mathcal{C})$est-il maximal lorsque $\mathcal{C}$ possède une forme sphérique. Il s'obtient par le rapport ([*]) (avec utilisation de l'intégrale de Dirichlet pour le calcul de l'énergie moyenne d'une constellation sphérique [16])

$\displaystyle \gamma_s(\mathcal{C})_{max} = \frac{{\vert\vert{\bf x}\vert \vert^... ...grave{e}re}}} = \frac{\pi \times (n+2)}{12 \times \sqrt[n/2]{\Gamma(n/2+1)}} ~.$ (13)

Le tableau [*] montre quelques valeurs de $ \gamma_s(\mathcal{C})_{max}$ pour différentes dimensions. En appliquant la formule de Stirling ($ \sqrt[n]{n!} \simeq n/e$), on peut montrer que le gain tend en fait vers $ \pi e/6 \approx 1.533$ dB lorsque $n$ tend vers l'infini. On constate donc que le gain de forme est relativement faible comparé au gain fondamental, ce qui explique pourquoi les constellations sphériques, difficiles à réaliser sont peu utilisées et se voient préférer les constellations cubiques. Par la suite, nous ne considérerons dans ce document que ces constellations.

Table:Quelques valeurs du gain de forme maximal $ \gamma_s(\mathcal{C})_{max}$ en fonction de la dimension.
$n$ $ \gamma_s(\mathcal{C})_{max}$ $ \gamma_s(\mathcal{C})_{max}$ (dB)
21.04719760.200
31.08271590.345
41.11072010.456
51.13353830.544
81.18281230.729
161.25184650.976
241.28700601.096
321.30890711.169
481.33529091.256
641.35092801.306
1281.37933921.397
2561.39740231.453


2.3 Performances des réseaux de points sur le canal avec évanouissement de Rayleigh

Le système de transmission présenté en figure [*] utilisé sur un canal de Rayleigh admet pour borne supérieure de la probabilité d'erreur par paire, i.e. celle de décoder $ {\bf d} \in \Lambda$ alors que $ {\bf c} \in \Lambda$ a été effectivement émis lorsque l'on fait abstraction des autres points du réseau (voir [86], annexe A.2)

$\displaystyle P({\bf c} \rightarrow {\bf d}) \leq \frac{1}{2} \prod_{i=1}^n \frac{1}{1+\frac{(c_i-d_i)^2}{8N_0}}$ (14)

donc, à haut rapport signal à bruit,

$\displaystyle P({\bf c} \rightarrow {\bf d}) \leq \frac{1}{2} \prod_{c_i \neq d... ...t( \frac{\eta}{8}\frac{E_b}{N_0} \right)^\ell d_p^{(\ell)}({\bf c},{\bf d})^2 }$ (15)

où$ d_p^{(\ell)}({\bf c},{\bf d})$ est la distance produit-$\ell$ normalisée entre deux points ${\bf c}$ et $ {\bf d}$ lorsque ceux-ci différent en $\ell$ composantes.

$\displaystyle d_p^{(\ell)}({\bf c},{\bf d})^2= \frac{\prod_{c_i \neq d_i}(c_i-d_i)^2}{(E/n)^\ell}$ (16)

où le facteur de normalisation E correspond à deux points soit $ E = \frac{\eta}{n}E_b$.

Définition 2.15 (diversité)
L'ordre de diversité ou diversité $L$ d'un réseau $\Lambda$ est le nombre minimal de composantes dont deux points quelconques ${\bf c}$ et $ {\bf d}$ diffèrent
$\displaystyle L = min_{{\bf c},{\bf d} \in \Lambda} d_H ({\bf c},{\bf d}) ~.$ (17)
L'ensemble des nombres de composantes dont deux points quelconques d'un réseau peuvent différer est appelé distribution de diversités du réseau.

Utilisant la borne de l'union, on peut donc exprimer la probabilité d'erreur pour une constellation de dimension $n$ extraite du réseau $\Lambda$ comme

$\displaystyle P_e \leq \sum\limits_{{\bf c},{\bf d} \in \Lambda, {\bf c} \neq {\bf d}} P({\bf c} \rightarrow {\bf d}) ~.$ (18)

Alors, en remplaçant l'expression de la probabilité d'erreur par paire par sa borne supérieure obtenue dans l'inéquation ([*]) on obtient

$\displaystyle P_e \leq \frac{1}{2} \sum_{\ell=L}^{n} \frac{K_\ell}{\left(\frac{\eta}{8} \frac{E_b}{N_0}\right)^\ell}$ (19)

où $ K_\ell = \sum_{d_p^{(\ell)}} \frac{A_{d_p^{(\ell)}}}{(d_p^{(\ell)})^2}$, avec $ A_{d_p^{(\ell)}}$ le nombre de points à distance produit-$\ell$ de ${\bf c}$. On notera que la série en $ K_l$ peut être interprétée comme une série theta du réseau, pour peu qu'on considère la distance produit-$\ell$ au lieu de la distance euclidienne [79].

Asymptotiquement, la borne sur le logarithme de la probabilité d'erreur $ P_e$ décroit linéairement avec une pente $L$.

3. Décodage par sphères

De nombreux algorithmes existent, spécialisés ou non, permettant de décoder les réseaux de points sur le canal AWGN. Citons à titre d'exemple les travaux de Conway et al. [26], Sun et al. [68], Vardy [75], ou encore l'utilisation de l'algorithme sous-optimal GMD (Generalized minimum distance algorithm [33]). Développés pour le canal gaussien, ces algorithmes reposent principalement sur le décodage souple de codes linéaires, utilisant un treillis ou un calcul sur une valeur de confiance. Applicables au canal de Rayleigh non sélectif, pour lequel les évanouissements multiplient tout simplement les composantes des points émis du réseau, ces algorithmes ne peuvent être utilisés lorsque le réseau est tourné avant de subir l'évanouissement (par application d'une rotation). Dans ce cas, du fait de la corrélation liant les symboles et leurs composantes entre eux, le décodage par étages ou le décodage souple des codes correcteurs d'erreurs ne sont plus possibles.
Le seul algorithme qui reste applicable dans tous les cas est le décodeur universel par sphères [78] reposant sur le critère du maximum de vraisemblance (ML). Il est utilisable aussi bien sur le canal AWGN que sur les canaux à évanouissement de Rayleigh, et sa complexité est indépendante de la taille de la constellation utilisée. Néanmoins, sa complexité limite son utilisation à des dimensions du réseau inférieures ou égales à $32$. On notera que tout récemment a été proposé une version modifiée de cet algorithme pour le décodage des systèmes d'accès multiple par séquences directes [20][21].

3.1 Décodage par sphères en présence d'un bruit blanc gaussien

Plaçons nous tout d'abord dans le cas où le canal est à bruit blanc additif gaussien. Le décodage à maximum de vraisemblance d'un réseau de points $\Lambda$ quelconque en dimension $n$ utilisé sur ce canal correspond à la recherche, parmi tous les points du réseau, de celui qui est le plus proche du vecteur reçu, soit de celui qui minimise la métrique

$\displaystyle m({\bf y}\vert{\bf x}) = \Vert{\bf y} - {\bf x}\Vert^2 = \sum_{i=1}^{n} \vert y_i - x_i\vert^2$ (20)
où ${\bf x}$ est le point du réseau émis sur le canal, $ {\bf y} = {\bf x} + {\bf b}$ le point reçu et $ {\bf b} = (b_1, \dots, b_n)^t$ le bruit sur le canal dont les composantes $ b_i$ sont des variables aléatoires gaussiennes de moyenne nulle et de variance $ \sigma^2=N_0$. L'ensemble des points du réseau est $ M \bbbz^n$ ou $ \{ {\bf x} \in \bbbr^n \vert \exists {\bf u} \in \bbbz^n {\bf x} = M {\bf u} \}$, où $M$ est la matrice génératrice de $\Lambda$ et où $ {\bf u} = (u_1, \dots, u_n)$ est le vecteur à composantes entières associé aux bits d'information.

L'algorithme de décodage par sphères se limite aux points du réseau $\Lambda$ se trouvant dans une sphère de rayon $ \sqrt{C}$ centrée sur le point reçu, comme illustré en figure [*].

Figure: Représentation géométrique de l'algorithme de décodage par sphères.
file=chapter1/spheredecodeur.pst

Le décodeur recherche donc le vecteur $ {\bf w}$ de plus petite norme possible dans le réseau translaté $ {\bf y}-\Lambda$ de l'espace euclidien $\bbbr^n$ :

$\displaystyle min_{{\bf x} \in \Lambda} \Vert {\bf y} - {\bf x} \Vert = min_{{\bf w} \in {\bf y}-\Lambda} \Vert {\bf w} \Vert ~.$ (21)

Définissons les notations suivantes

$\displaystyle {\bf x} = M{\bf u} \qquad {\bf y} = M\hbox{\boldmath$\rho$}\qquad {\bf w} = M(\hbox{\boldmath$\rho$}-{\bf u}) = M\hbox{\boldmath$\xi$}$

avec  $ {\bf u} \in \bbbz^n$, $ \hbox{\boldmath $\rho$}=(\rho_1, \dots, \rho_n) \in \bbbr^n$, $ \hbox{\boldmath $\xi$}=(\xi_1, \dots, \xi_n) \in \bbbr^n$.

Du fait de la présence du bruit sur le canal, les vecteurs $ \hbox{\boldmath $\rho$}$ et $ \hbox{\boldmath $\xi$}$ sont en effet des vecteurs réels. De plus, comme $ {\bf w} = {\bf y} - {\bf x}$, on a pour tout indice $ i, i=1, \dots, n$ $ \xi_i = \rho_i - u_i$. Le point $ {\bf w}$ est un point du réseau dont les coordonnées sont exprimées dans le repère translaté centré sur le point reçu ${\bf y}$. On veut que $ {\bf w}$ appartienne à une sphère centrée en ${\bf y}$ (i.e. en ${\bf0}$ dans le nouveau repère) et de rayon égal à $ \sqrt{C}$, ce qui nous amène l'inéquation en $\xi$ :

$\displaystyle \Vert {\bf w} \Vert^2 = F(\hbox{\boldmath$\xi$}) = \hbox{\boldmat... ...boldmath$\xi$} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \varsigma_{ij} \xi_i \xi_j \leq C ~.$ (22)

Dans ce nouveau système de coordonnées, la sphère de centre ${\bf y}$ et de rayon au carré égal à $C$ est transformée en un ellipsoïde centré sur l'origine définie par la forme bilinéaire $ F(\xi)$. La factorisation de Cholesky de la matrice de Gram $ G_\Lambda=M^tM$ [25] donne $ G_\Lambda=R^tR$, où $ R = (r_{ij})_{i,j=1, \dots, n}$ est une matrice triangulaire supérieure, d'où

$\displaystyle F(\hbox{\boldmath$\xi$}) = \hbox{\boldmath$\xi$}^t R^tR \hbox{\bo... ...um_{i=1}^n \left(r_{ii} \xi_i + \sum_{j=i+1}^n{r_{ij} \xi_j}\right)^2 \leq C ~.$ (23)

En posant

$\displaystyle f_{ii} = r_{ii}^2~,~~ i=1, \dots, n$
$\displaystyle f_{ij}= \frac{r_{ij}}{r_{ii}}~,~~ i=1, \dots, n~,~~ j=i+1, \dots, n$

on obtient

$\displaystyle F(\hbox{\boldmath$\xi$}) = \sum_{i=1}^n f_{ii} \left(\xi_i + \sum_{j=i+1}^n {f_{ij}\xi_j} \right)^2 \leq C ~.$ (24)

En s'intéressant tout d'abord à $ \xi_n$ et en poursuivant par les $ \xi_i, i=n-1, \dots, 1$, on va déterminer un systèmes de $n$ équations déterminant les limites de l'ellipsoïde :

$\displaystyle f_{nn} \xi_n$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle C$  
$\displaystyle f_{n-1,n-1} \left( \xi_{n-1} + f_{n,n-1} \xi_n \right)^2 + f_{nn} \xi_{n}^2$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle C$  
$\displaystyle \forall k, 1 \leq k \leq n~,~~\sum_{i=k}^{n} f_{ii} \left( \xi_i + \sum_{j=i+1}^n f_{ji}\xi_j \right)^2$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle C$. (25)

Les bornes données par l'équation ([*]) nous permettent d'établir la relation générale pour la $ i^{\grave{e}me}$ composante $ u_i$ [77][78]

$\displaystyle \left\lceil{ -\sqrt{\frac{C}{f_{nn}}} } +\rho_n \right\rceil\leq u_n \leq\left\lfloor \sqrt{\frac{C}{f_{nn}}} +\rho_n\right\rfloor$
$\displaystyle \left\lceil{-\sqrt{\frac{C - f_{nn}\xi_n^2}{f_{n-1,n-1}}}+\rho_... ...- f_{nn}\xi_n^2}{f_{n-1,n-1}}} + \rho_{n-1} + f_{n-1,n}\xi_n } \right\rfloor$
$\displaystyle \left\lceil{-\sqrt{ {\displaystyle \frac{1}{f_{ii}}} \left({\disp... ...} +\rho_i + {\displaystyle \sum_{j=i+1}^n f_{ij}\xi_j} } \right\rceil \leq u_i$
$\displaystyle u_i \leq \left\lfloor{\sqrt{ {\displaystyle \frac{1}{f_{ii}}} \le... ... \right) } +\rho_i + {\displaystyle \sum_{j=i+1}^n f_{ij}\xi_j} } \right\rfloor$ (26)
où $ \lceil x \rceil$ est le plus petit entier supérieur à $ x$ et $ \lfloor x \rfloor$ le plus grand entier inférieur à $ x$.

Les bornes trouvées dans les inéquations de la formule ([*]) nous apprennent que le décodeur par sphères fonctionne avec $n$ compteurs, 1 pour chacun des nombres $ u_i$. Il suffit ensuite de faire varier les valeurs des différents compteurs à l'intérieur des bornes trouvées, en tenant compte du fait que celles-ci dépendent des valeurs des autres compteurs. En pratique, ces bornes sont mises à jour de façon récursive [78]. L'intérêt de cette méthode est que les vecteurs dont la norme est supérieure au rayon donné ne seront jamais testés : la complexité de cet algorithme est donc indépendante de la taille de la constellation considérée. Cette méthode permet donc une estimation ML tout en évitant de façon drastique le nombre de points à tester, en particulier lorsque la dimension augmente.

Le choix du rayon de recherche initial $ \sqrt{C}$ est un point crucial de l'algorithme : afin d'être sûrs de toujours trouver un point du réseau à l'intérieur de la sphère nous devons choisir $ \sqrt{C}$ égal au rayon de recouvrement du réseau. Pour cela, il est par exemple possible de le choisir égal à la borne supérieure de Rogers [27] (p. 40)

$\displaystyle \sqrt{C} = \sqrt[n]{ (n\log_e{n} + n \log_e \log_e {n} + 5n) \frac{\sqrt{det(\Lambda)}}{V_n} }$ (27)
où $V_n$ est le volume d'une sphère de rayon 1 en dimension $n$ donné par la formule ([*]) et où le volume fondamental du réseau $\Lambda$ peut être aisément calculé comme la racine carrée du déterminant de sa matrice de Gram.

En pratique, on ajuste au fur et à mesure le choix de $C$, le mettant à jour avec la dernière norme euclidienne calculée pour un point de l'ellipsoïde.

Enfin on remarquera que, contrairement aux réseaux de points, la constellation utilisée étant finie, des effets de bord pourront apparaître : au cours de la recherche, il ne faudra pas sélectionner les points qui appartiennent au réseau mais pas à la constellation. La complexité de ce test supplémentaire dépend de la forme de la constellation. Par exemple pour les constellations cubiques, il s'agit seulement de vérifier que toutes les composantes du vecteur appartiennent à un certain intervalle.

3.2 Décodage par sphères en présence d'un évanouissement de Rayleigh

Le canal de Rayleigh non sélectif à évanouissements indépendants est une généralisation possible du canal AWGN : il prend en compte la variation de la puissance instantanée reçu et la modélise par des évanouissements indépendants. Le signal reçu s'écrit donc :

$\displaystyle {\bf y}=\hbox{\boldmath$\alpha$}\odot {\bf x} +{\bf b}$
où $\odot$ représente le produit composante par composante, ${\bf x}$ est le vecteur émis et $ {\bf b} = (b_1, \dots, b_n)^t$ le bruit sur le canal dont les composantes $ b_i$ sont des variables aléatoires gaussiennes de moyenne nulle et de variance $ \sigma^2=N_0$. Les coefficients d'évanouissement $ \hbox{\boldmath $\alpha$}= (\alpha_1,\alpha_2, \dots, \alpha_n)$ ont un moment du second ordre unitaire et leur densité de probabilité est donnée par $ p(\alpha_k) = 2\alpha_k \, \exp(-\alpha_k^2), k=1, \dots, n$. Dans la réalité, les évanouissements ne sont pas indépendants : l'état du canal à un instant donné dépend des états aux instants précédents. L'indépendance est alors obtenue en ajoutant un entrelaceur au niveau de l'émetteur : on suppose que la répartition temporelle des bits d'information consécutifs obtenue par l'entrelaceur est suffisamment bonne pour que l'hypothèse d'indépendance soit valide.

Dans ce cas, lorsque le récepteur connait parfaitement l'état du canal (CSI), le décodage ML correspond à la minimisation de la métrique

$\displaystyle m({\bf y}\vert{\bf x}, \hbox{\boldmath$\alpha$}) = \Vert {\bf y} ... ...$\alpha$}\odot {\bf x} \Vert^2 = \sum_{i=1}^{n}\vert y_i-\alpha_i x_i\vert^2 ~.$ (28)

Soit $M$ la matrice génératrice du réseau $\Lambda$ considéré. Nous pouvons alors définir le réseau $ \Lambda_c$ de matrice génératrice $ M_c$

$\displaystyle M_c = M {\bf D}(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$
où $ {\bf D}(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ est la matrice diagonale ayant sur sa diagonale principale les valeurs $ \alpha_1, \dots, \alpha_n$.

Le nouveau réseau $ \Lambda_c$ associé à la matrice $ M_c$ peut être vu comme le réseau initial considéré dans un repère dans lequel chaque composante a été multipliée par un facteur $ \alpha_i$. Un point de $ \Lambda_c$ s'écrit en effet

$\displaystyle {\bf x}^{(c)}=(x^{(c)}_1, \dots, x^{(c)}_n)=(\alpha_1 x_1, \dots, \alpha_n x_n) ~.$

La métrique à minimiser pour décoder ce réseau est donc, d'après ce qui a été vu au paragraphe précédent,

$\displaystyle m({\bf y}\vert{\bf x},\hbox{\boldmath$\alpha$})= \sum_{i=1}^n \vert y_i-x^{(c)}_i\vert^2 ~.$ (29)

Ceci signifie [78] que nous pouvons appliquer directement l'algorithme de décodage présenté au paragraphe précédent au réseau $ \Lambda_c$ avec pour point reçu ${\bf y}$. Le point décodé $ {\bf\hat{x}^{(c)}} \in \Lambda_c$ aura les mêmes composantes entières $ {\bf\hat{u}}$ que le point $ {\bf\hat{x}} \in \Lambda$.

La complexité supplémentaire introduite par les évanouissements vient du fait que pour chaque point reçu il faut travailler avec un nouveau réseau $ \Lambda_c$. Il faut donc effectuer une nouvelle décomposition de Cholesky de la matrice de Gram pour chaque nouveau réseau $ \Lambda_c$. Il faut également calculer l'inverse de la matrice du réseau $ \Lambda_c$ $ M_c^{-1}= {\bf D}(1/\alpha_1, \dots, 1/\alpha_n) M^{-1}$ pour calculer les valeurs des coefficients $ \rho_i$, mais ceci ne demande qu'une opération simple de multiplication puisque la matrice $ M^{-1}$ peut être précalculée une fois pour toutes.

À nouveau, le choix du rayon $C$ est un point crucial : en effet, lorsque la transmission a lieu dans un milieu à forts évanouissements, le choix d'un grand rayon initial impliquera que de nombreux points vont se trouver à l'intérieur de la sphère et donc le décodage pourra être très lent. Pour éviter cet écueil, il est important de pouvoir adapter le choix de $C$ en fonction des valeurs des coefficients d'évanouissement $ \alpha_i$.

Ayant à notre disposition un algorithme permettant de décoder les réseaux de points tant sur le canal AWGN que sur le canal de Rayleigh non sélectif, nous allons voir comment construire des réseaux de points performants.

4. Construction des réseaux de points

Les codes correcteurs d'erreurs peuvent servir à construire des empilements de sphères très denses dans l'espace euclidien $\bbbr^n$ [27]. Bien entendu, d'autres méthodes existent, comme la construction par découpage, par couches ou à partir des corps de nombres (voir par exemple [86], chapitre 2). Pour plus de précisions sur ces autres méthodes de construction, on se reportera à l'ouvrage encyclopédique de Conway et Sloane [27]. Nous considérerons ici les différentes méthodes les plus classiques de construction, à partir de codes linéaires binaires, soit la construction A, la construction B et la construction D. On notera que si la construction C n'est pas abordée ici, c'est parce que les empilements qu'elle permet de construire ne sont pas en général des réseaux.

À titre d'exemple, le tableau [*] fournit une liste des réseaux de points les plus célèbres [27]. Parmi les plus importants on notera le réseau fcc $D_3$, le réseau de Schalfli $D_4$, le réseau de Gosset $E_8$, le réseau de Coxeter-Todd $K_{12}$, le réseau de Barnes-Wall $BW_{16}$ ou enfin le fameux réseau Leech $\Lambda_{24}$. Les caractéristiques principales de ces réseaux s'y trouvent, et on peut ainsi voir que la densité $\Delta$ est une fonction décroissante de la dimension $n$ alors que le coefficient d'erreur $\tau(\Lambda)$ en est une fonction croissante.

Table:Quelques réseaux de points et leurs caractéristiques. La dimension $n$, le nom $\Lambda$, la densité $\Delta$, la densité centrée $\delta$ ($ log_2(\delta)~pour~n \geq 32$), le gain en dB $ \gamma_{dB}$ et le coefficient d'erreur $\tau(\Lambda)$.
$n$ $\Lambda$ $\Delta$ $\delta$ $ \gamma_{dB}$ $\tau(\Lambda)$
1 $ \Lambda_1=A_1$ 1.0 0.5 0.0 2
2 $ \Lambda_2=A_2$ 0.90690 0.28868 0.62 6
3 $ \Lambda_3=D_3$ 0.74048 0.17678 1.00 12
4 $ \Lambda_4=D_4$ 0.61685 0.12500 1.51 24
5 $ \Lambda_5=D_5$ 0.46526 0.08839 1.81 40
6 $ \Lambda_6=E_6$ 0.37295 0.07217 2.22 72
7 $ \Lambda_7=E_7$ 0.29530 0.06250 2.58 126
8 $ \Lambda_8=E_8$ 0.25367 0.06250 3.01 240
9 $ \Lambda_{9}$ 0.14577 0.04419 3.01 272
10 $ \Lambda_{10}$ 0.09202 0.03608 3.14 336
11 $ K_{11}$ 0.06043 0.03208 3.30 432
12 $ \Lambda_{12}$ 0.04173 0.03125 3.51 648
12 $ K_{12}$ 0.04945 0.03704 3.64 756
13 $ K_{13}$ 0.02921 0.03208 3.72 918
14 $ \Lambda_{14}$ 0.02162 0.03608 3.96 1422
15 $ \Lambda_{15}$ 0.01686 0.04419 4.21 2340
16 $ \Lambda_{16}=BW_{16}$ 0.01471 0.06250 4.52 4320
17 $ \Lambda_{17}$ 0.008811 0.06250 4.60 5346
18 $ \Lambda_{18}$ 0.005928 0.07217 4.75 7398
19 $ \Lambda_{19}$ 0.004121 0.08839 4.91 10668
20 $ \Lambda_{20}$ 0.003226 0.12500 5.12 17400
24 $\Lambda_{24}$ 0.001930 1.0 6.02 196560
32 $ \Lambda_{32}$ -- 0 6.02 208320
32 $ BW_{32}$ -- 0 6.02 146880
32 $ Q_{32}$ -- 1.359 6.28 261120
36 $ \Lambda_{36}$ -- 1 6.19 234456
48 $ \Lambda_{48}$ -- 12 7.53 --
64 $ BW_{64}$ -- 16 7.53 9694080
64 $ Q_{64}$ -- 18.719 7.78 2611200
64 $ P_{64c}$ -- 22 8.09 --
128 $ BW_{128}$ -- 64 9.03 1260230400
128 $ P_{128b}$ -- 85 10.02 --
128 $ \eta(E_8)$ -- 88 10.16 --
256 $ BW_{256}$ -- 192 10.54 325139443200


4.1 Constructions A, B et D

Construction A

Il s'agit de l'une des méthodes les plus simples de construction d'un réseau de points. Elle repose sur l'utilisation d'un code linéaire $ q$-aire (en pratique, on prend toujours $ q=2$).

Définition 4.1 (construction A)
$ C_0$ étant un code linéaire binaire de longueur $n$, dimension $k$ et distance minimale de Hamming $ d$, on construit un réseau $\Lambda$ par construction A de la façon suivante : $ {\bf x}=(x_1, \dots, x_n)$ est un point du réseau si et seulement si le $n$-uple $ (x_1, \dots, x_n)$ est congru modulo-$2$ à un mot du code $ C_0$.
On écrit
$\displaystyle \Lambda = C_0 + 2 \bbbz^n ~.$ (30)

Il est possible d'interpréter cette construction en utilisant la décomposition binaire d'un entier [16].

Définition 4.2 Soit $ e \in \bbbz$. La décomposition binaire de l'entier $ e$ correspond à la projection de $ e$ sur la base formée par les puissances de $2$, soit
$\displaystyle e = \sum_{j=0}^{+\infty} e_j 2^j ~,~~ e_j \in \{0,1\} ~.$ (31)
La notation binaire complémentaire est utilisée pour écrire les entiers négatifs.

On peut alors construire la matrice des coordonnées d'un point $ {\bf x} \in \bbbz^n$.

Définition 4.3 (Matrice des Coordonnées)
Soit $ {\bf x}=(x_1, \dots, x_n) \in \bbbz^n$. La matrice des coordonnées de ${\bf x}$ est la matrice semi-infinie dont les colonnes sont composées des décompositions binaires des composantes $x_i$ de ${\bf x}$. Les lignes de cette matrice, toutes identiques à partir d'un certain rang, sont dites ligne mod-$ 2^i$.

Exemple

Considérons le vecteur $ {\bf x}=(4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3) \in \bbbz^8$. La matrice des coordonnées de ${\bf x}$ s'écrit

\begin{displaymath} \begin{array}{r} \left[ \begin{array}{cccccccc} 0 & 1 & 0 &... ...w~~ligne~mod-16 \\ ~~\ldots\ldots \end{array}\par\end{array}\end{displaymath}

Un point ${\bf x}$ appartient donc au réseau défini par construction A si et seulement si sa ligne mod-$2$ appartient au code $ C_0$.

Différentes caractéristiques d'un réseau $\Lambda$ issu de la construction A à l'aide d'un code linéaire $ C_0$ de longueur $n$, de dimension $k$ et de distance de Hamming minimale $ d$, noté $ (n,k,d)$ sont aisément calculables,

la densité centrée $\delta=2^k\rho^n2^{-n}$
le rayon d'empilement $\rho = \frac{1}{2} min(2, \sqrt{d})$
le coefficient d'erreurs $\tau(\Lambda) = \left\{ \begin{array}{rrr} 2^dA_d & si~d<4 \\ 2n+16A_4 & si~d=4 \\ 2n & si~d>4 \end{array} \right.\\ \mbox{o\`{u} $A_i$\ est le nombre de mots de poids i dans $C_0$.}$

Lorsque la matrice génératrice du code $ C_0$ est de forme systématique, $ [I_k \vert P]$, la matrice génératrice du réseau $\Lambda$ obtenu par construction A est

$\displaystyle M=\left( \begin{array}{rr} I_k & P \\ 0 & 2I_{n-k} \end{array} \right) ~.$ (32)

Cette construction fournit des réseaux de points efficaces pour des dimensions $ n \leq 15$. Un exemple de réseaux obtenus par construction A est la famille des réseaux checkerboard, notés $ D_n = (n, n-1, 2) + 2\bbbz^n$, obtenus à partir des codes de parité $ (n,n-1,2)$. Parmi ces réseaux, on notera le réseau fcc $D_3$ et le réseau de Schlafli $D_3$. Les réseaux $ D_n$ sont les plus denses en dimensions $ n=3,4,5$ seulement. On notera également que les réseaux les plus denses en dimension 6, 7 et 8 soit $ E_6$, $ E_7$ et $E_8$ s'obtiennent également par construction A.

Nous donnons en exemple la matrice du réseau fcc

$\displaystyle M_{D_3}= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2\\ \end{array} \right) ~.$ (33)

Construction B

La construction B ajoute une contrainte supplémentaire sur la ligne mod-$ 4$ de la matrice de coordonnées.

Définition 4.4 (construction B)
$ C_0$ étant un code linéaire binaire de longueur $n$, dimension $k$ et distance minimale de Hamming $ d$ dont tous les mots de codes sont de poids pair, et $ C_1$ étant le code de parité $ (n,n-1,2)$, on construit un réseau $\Lambda$ par construction B de la façon suivante : $ {\bf x}=(x_1, \dots, x_n)$ est un point du réseau si et seulement si le $n$-uple $ (x_1, \dots, x_n)$ est congru modulo-$2$ à un mot du code $ C_0$ et si $ \sum\limits_{i=1}^{n}x_i$ est divisible par . Lorsque tous les mots de sont divisibles par $ 4$, on écrit
$\displaystyle \Lambda = C_0 + 2 C_1 + 4 \bbbz^n ~.$ (34)

On notera que l'on a $ C_0 \subset C_1$ puisque les poids de sont divisibles par 2. De plus, différentes caractéristiques d'un réseau $\Lambda$ issu de la construction A à l'aide d'un code linéaire $ (n,k,d)$ sont aisément calculables,

la densité centrée $\delta = 2^k \rho^n 2^{-n-1}$
le rayon d'empilement $\rho = \frac{1}{2} min(\sqrt{8}, \sqrt{d})$
le coefficient d'erreurs $\tau(\Lambda) = \left\{ \begin{array}{rrr} 2^{d-1} A_d & si~d<8 \\ 2n(n-1)+128 A_8 & si~d=8 \\ 2n(n-1) & si~d>8 \end{array} \right.\\ \mbox{o\`{u} $A_i$\ est le nombre de mots de poids i dans $C$.}$

Cette construction est efficace pour des dimensions comprises entre $8$ et $ 24$. Grâce à cette construction, nous pouvons par exemple obtenir une nouvelle version du réseau $E_8$, mais aussi le réseau $ \Lambda_{9}$ (le plus dense en dimension $ 9$). En dimension $ 16$, en utilisant le code de Reed-Muller d'ordre 1 on obtient $ \Lambda_{16}=4\bbbz^{16}+2(16,15,2)+(16,5,8)$. On notera que ce réseau est aussi le réseau de Barnes-Wall en dimension $ 16$, comme nous le verrons au paragraphe [*].

$\displaystyle M_{\Lambda_{16}} = \left[ \begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr} 1 & 1 &... ... & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4\\ \end{array} \right]$ (35)

Construction D

Généralisant une construction proposée par Barnes et Wall [3], la construction D a été initialement proposée par Barnes et Sloane [4] et s'applique sur une famille de $ a$ codes linéaires binaires emboîtés pour produire un réseau dans $\bbbr^n$.

Définition 4.5 (construction D)
Soit $ \gamma=1~ou~2$. Soient $ C_0 \subseteq C_1 \subseteq \cdots \subseteq C_{a-1}$ $ a$ codes linéaires binaires, où le code $ C_i$ est de longueur $n$, de dimension $ k_i$ et de distance minimale de Hamming $ d_i \geq 4^i/\gamma$. Soit également $ C_a = (n,k_n=n,1)$ le code universel sur le corps de Galois $ GF(2)$.
Choisissons une base $ {\bf c}_1, \dots, {\bf c}_n$ de $ GF_n(2)$ telle que chaque ensemble de vecteurs $ {\bf c}_1, \dots, {\bf c}_{k_i}$ forme une base de $ C_i$ (familles emboîtées), pour $ i = 0, \dots, a$.
Le réseau de points $ \Lambda \subset \bbbr^n$ obtenu par construction D est alors formé par tous les points de la forme
$\displaystyle \sum_{i=0}^{a-1} 2^{i} \sum_{j=1}^{k_i} u^{(i)}[j].c_j + 2^a L$ (36)
où $ L \in \bbbz^n$ et $ u^{(i)}[j] \in \{0, 1\}$.
On écrit
$\displaystyle \Lambda = C_0 + 2 C_1 + \cdots + 2^{a-1} C_{a-1} + 2^a \bbbz^n ~.$ (37)

Le volume fondamental du réseau $\Lambda$, de matrice génératrice $M$ construite à partir de la base $ c_1, c_2, \dots, c_n$, est alors donné par

$\displaystyle det(\Lambda) = 2^{an - \sum_{i=0}^{a-1} k_i} ~.$ (38)

Cette construction est une généralisation des constructions A et B. Il suffit en effet de prendre $ a=1$ pour retrouver la construction A et $ a=2$ pour retrouver la construction B. Elle permet quant à elle de construire des réseaux performants en grandes dimensions. On notera que c'est la propriété d'emboitement de ces codes linéaires qui assure que l'empilement obtenu par construction D est un réseau. Les exemples de réseau précédents peuvent donc également être considérés comme des réseaux obtenus par construction D.

4.2 Les réseaux de Barnes-Wall

Construction des réseaux de Barnes-Wall

Nous allons à présent nous intéresser à une famille particulière de réseaux obtenus par construction D, à savoir les réseaux de Barnes-Wall. En effet, d'après [31], on peut utiliser des codes de Reed-Müller pour construire de nombreux réseaux en suivant les équations suivantes :

$\displaystyle \Lambda(r,m) = 2^{\frac{m-r}{2}} \bbbz^{2n} + \sum_{\tiny\begin{a... ...\\ \end{array}} RM (r', m+1) 2^{\frac{r'-1}{2}} \quad \mbox{pour $m-r$\ impair}$ (39)
$\displaystyle \Lambda(r,m) = 2^{\frac{m-r+1}{2}} \bbbz^{2n} + \sum_{\tiny\begin... ...} \\ \end{array}} RM (r', m+1) 2^{\frac{r'-1}{2}} \quad \mbox{pour $m-r$\ pair}$ (40)

où la dimension $n$ est donnée par $n=2^m$ et $RM(r,m)$ désigne le code de Reed-Müller d'ordre $r$ et de longueur $m$.

En 1959, Barnes et Wall ont isolé une série de réseaux, appelés $BW_n$, qui en dimension $n=2^m$ vérifiaient la propriété suivante :

$\displaystyle \frac{1}{n} \log_2 \Delta \equival_{n \to \infty} -\frac{1}{4} \log_2 n ~.$

Il a également été remarqué que les formules des réseaux de Barnes-Wall sont obtenues pour le cas $ r=0$ de la formule générale de construction de réseaux à partir des codes de Reed-Müller. Ainsi obtient-on :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcl} ~\\ BW_{4} &=& 2 \bbbz^4 + (4,3,2) \\... ...024,64) \\ ~ &~& \qquad + 2(2048,232,256) + (2048,12,1024) \end{array} \right.$ (41)

Les réseaux de Barnes-Wall $ BW_n, n=2^m$ vérifient différentes propriétés bien utiles à qui veut calculer leur gain, densité, ou nombre de voisins (Cf. table [*]) :

$\displaystyle \frac{1}{n} \log_2 \Delta \equival_{n \to \infty} -\frac{1}{4} \log_2 n$ (42)
$\displaystyle \delta = 2^{\frac{-5n}{4}} n^{\frac{n}{4}}$ (43)
$\displaystyle \gamma_{dB} = 10 \log_{10} (4 \sqrt[\frac{n}{2} \; \;]{\delta})$ (44)
$\displaystyle \tau(\Lambda) = (2+2)(2+2^2) \cdots (2+2^m) \equival_{m \to \infty} 4.768 2^{\frac{m(m+1)}{2}}$ (45)


Table:Quelques réseaux de Barnes-Wall et leurs caractéristiques. La dimension $n$, le nom $\Lambda$, la densité $\Delta$, la densité centrée $\delta$ ($ log_2(\delta)~pour~n \geq 32$), le gain en dB $ \gamma_{dB}$ et le coefficient d'erreur $\tau(\Lambda)$.
$n$ $\Lambda$ $\Delta$ $\delta$ $ \gamma_{dB}$ $\tau(\Lambda)$
4 $ BW_{4} = D_4$ 0.61685 0.12500 1.51 24
8 $ BW_{8} = E_8$ 0.25367 0.06250 3.01 240
16 $ \Lambda_{16}=BW_{16}$ 0.01471 0.06250 4.51 4320
32 $ BW_{32}$ -- 0 6.02 146880
64 $ BW_{64}$ -- 16 7.52 9694080
128 $ BW_{128}$ -- 64 9.03 1260230400
256 $ BW_{256}$ -- 192 10.54 325139443200
512 $ BW_{512}$ -- 512 12.04 167121673804800
1024 $ BW_{1024}$ -- 1280 13.55 167121673804800
2048 $ BW_{2048}$ -- 3072 15.05 351507016513635840000

Construction des codes de Reed-Müller

Les codes de Reed-Müller forment une famille infinie de codes linéaires, introduits en 1954 par Reed et Müller. Ils sont déterminés par deux paramètres $r$ et $m$ vérifiant l'inégalité $ 0 \leq r \leq m$.

Définition 4.6   $RM(r,m)$ est constitué de l'ensemble des $ 2^m$-uples binaires qui représentent toutes les fonctions binaires polynomiales de degré inférieur ou égal à $r$. $RM(r,m)$ est appelé code de Reed-Müller d'ordre r.

$RM(r,m)$ représente un code sur $ \{0,1\}^m$ dont la dimension est égale au nombre de polynômes de degré inférieur ou égal à $r$, i.e. i.e. $ \sum_{i=0}^{r} {m \choose i}$. On notera que les codes de Reed-Müller peuvent également être définis comme des codes cycliques étendus [24]. Les caractéristiques du code linéaire binaire $RM(r,m)$ sont [51] :

  • longueur : $n=2^m$
  • dimension : $ k = {m \choose 0} + {m \choose 1} + {m \choose 2} + \cdots + {m \choose r}$
  • distance minimum : $ d = 2^{m-r}$

On constate par ailleurs que $ RM(m-2,m)$ est le code de Hamming étendu.

La construction d'un code $RM(r,m)$ consiste à prendre les $ m+1$ vecteurs de  composantes $ v_0, v_1, \dots, v_m$, choisis de telle façon que

\begin{displaymath}\begin{array}{l} v_0 = (1,1,1, \dots, 1), \\ v_i = (\und... ...underbrace{1, \dots, 1}_{2^{i-1}}) \quad i \leq m. \end{array}\end{displaymath}

On peut alors construire la base du code $RM(r,m)$ comme l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs $ v_0, v_1, \dots, v_m$, $ v_1v_2, v_1v_3, \dots, v_{m-1}v_m, \dots, v_{m-r+1}v_{m-r+2} \cdots v_m$ (jusqu'au degré $r$). Donnons un exemple pour $ m=4$, les $ 1+{m \choose 1}+ \cdots +{m \choose m}$ vecteurs de base sont

$ v_0$ = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
$ v_4$ = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
$ v_3$ = 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
$ v_2$ = 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
$ v_1$ = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
$ v_4 \odot v_3$ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
$ v_4 \odot v_2$ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1
$ v_4 \odot v_1$ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1
$ v_3 \odot v_2$ = 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1
$ v_3 \odot v_1$ = 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1
$ v_2 \odot v_1$ = 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
$ v_4 \odot v_3 \odot v_2$ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
$ v_4 \odot v_3 \odot v_1$ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
$ v_4 \odot v_2 \odot v_1$ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
$ v_3 \odot v_2 \odot v_1$ = 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
$ v_4 \odot v_3 \odot v_2 \odot v_1$ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

On notera de plus que par simple permutation de lignes cette matrice est aisément diagonalisable.

Exemple : réseau $ BW_{32}$

Nous avons déjà vu l'exemple d'un réseau de Barnes-wall avec le réseau $ \Lambda_{16}$ qui n'est autre que $BW_{16}$ puisque le deuxième code de Reed-Müller permettant de le créer, soit $ (16,15,2)$ n'est autre que le code à répétition en dimension $ 16$. Donnons ici le réseau de Barnes-Wall en dimension $32$, soit $ BW_{32} = 4 \bbbz^{32} + 2(32,26,4) + (32,6,16)$.

\begin{displaymath}\begin{array}{l} \hspace{-2cm} M_{BW_{32}}=\\ \hspace{-1cm} ... ... & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4\\ \end{array} \right] \\ \end{array}\end{displaymath} (46)


5. Décodage à sortie souple des réseaux de points selon le critère MMSE

Le seul algorithme ML de décodage de réseau de points existant, soit l'algorithme de décodage par sphères rappelé au paragraphe [*], étant limité pour des raisons de complexité à des dimensions inférieures ou égales à $32$, nous proposons un algorithme sous-optimal de décodage permettant de décoder tout réseau $\Lambda$ de dimension inférieure ou égale à $ 1024$ sur le canal AWGN et sur le canal de Rayleigh. Cet algorithme repose sur le critère de minimisation de l'erreur quadratique moyenne (critère MMSE). Au lieu de minimiser la distance euclidienne, le décodeur MMSE minimise l'espérance sur l'erreur quadratique dans l'espace $\bbbz^n$ en entrée du réseau. Nous nous sommes pour cela appuyés sur une première version d'un égaliseur MMSE (employé comme égaliseur à retour de décision (DFE) avec le critère MMSE) présentée dans [60] pour le décodage de matrices de Hadamard et de Fourier sur le canal à évanouissement de Rayleigh. Nous généralisons ici le décodage MMSE à tout réseau réel ou complexe de dimension $n$.

5.1 Détermination du détecteur à retour de décision (DFE)

L'emploi d'égaliseurs dans les systèmes de communications numériques pour réduire l'interférence entre symboles (IES) est très classique lorsque l'on souhaite effectuer une transmission sur un canal à bande limitée [58]. Lorsque la réponse impulsionnelle du canal est courte, il est possible de réaliser une égalisation selon le critère à maximum de vraisemblance en appliquant par exemple l'algorithme de Viterbi sur le treillis du canal. Dans le cas contraire, la réduction des effets de l'IES est obtenue en utilisant des égaliseurs sous-optimaux mais moins complexes reposant sur le critère de minimisation de l'erreur quadratique moyenne [58].

Bien sûr, on pourra se demander, et à juste titre, la relation entre égalisation et décodage de réseaux de points. Un réseau de points $\Lambda$ est un ensemble discret de points dans un espace de dimension $n$, $\bbbr^n$ou $ \bbbc^n$, obtenu par transformation linéaire du groupe $\bbbz^n$, c'est-à-dire que l'on a la relation

$\displaystyle \Lambda = M \bbbz^n$
où $ M=(m_{ij})_{i,j=1, \dots, n}$ est la matrice génératrice du réseau. L'effet de cette matrice sur $\bbbz^n$ est donc comparable à celui d'un canal avec IES : chaque composante d'un point du réseau est une combinaison linéaire de tous les entiers en entrée. Ainsi, l'opération de suppression de l'interférence entre symboles est-elle équivalente à celle du décodage de $\Lambda$ et le décodage d'un réseau de points peut-il être réalisé à l'aide d'un égaliseur. Du fait de la très grande complexité de l'égalisation avec treillis pour les réseaux de grande dimension, la seule solution possible apparait donc être le décodage à l'aide d'un égaliseur sous-optimal à retour de décision reposant sur le critère de minimisation de l'erreur quadratique moyenne.

Figure: Décodage à retour de décision d'un réseau de points sur canal AWGN.
file=chapter1/dfeawgnfr.pst

La figure [*] montre le modèle du système de transmission ainsi que l'égaliseur à retour de décision qui comprend une matrice aller $W$ et une matrice de retour $ G$. Le vecteur d'entiers ${\bf z}$ ayant été placé en entrée du réseau, le vecteur émis est ${\bf x}=M{\bf z}$ et le vecteur reçu $ {\bf y} = {\bf x} + {\bf b}$. Le bruit ${\bf b}$ sur le canal est additif blanc gaussien de moyenne nulle avec une variance de $N_0$ par composante. L'entrée du détecteur à seuil, soit la version corrigée par la matrice de retour du vecteur reçu est ${\bf\tilde{z}}$ et le vecteur estimé, qui est renvoyé en entrée de la matrice de retour $ G$ est noté ${\bf\hat{z}}$. L'estimation de la $ i^{\grave{e}me}$ composante n'est pas prise en compte dans le calcul de la matrice de retour pour l'égalisation du $ i^{\grave{e}me}$ symbole aussi imposons-nous la condition suivante

$\displaystyle \forall i \in \{ 0, \dots, n-1 \} \quad \mid g_{ii} \mid = 0.$ (47)

On note $ \sigma_z^2$ la variance par composante du vecteur d'entiers ${\bf z}$. Nous supposerons par la suite que $ \sigma_z^2=1$, ce qui se fait sans perte de généralité puisqu'au besoin il suffit de remplacer $N_0$ par $ N_0/\sigma_z^2$ pour garder correctes les équations trouvées. Nous supposons également que $ E[z \hat{z}^{h}]= \rho I_{n}$, où $I_n$ la matrice identité en dimension $n$ et $\rho$ est un facteur de corrélation. En pratique, une approximation valable de $\rho$ est donnée par $ \rho \approx (1-P_e(z_i))$. Par conséquent, lorsque le taux d'erreur sur les composantes entières $ z_i$ est suffisamment petit, $ \rho=1$. Les notations $ z^t$, $ z^*$ et $ z^h$ représentent respectivement le transposé, le conjugué et le transconjugué de $z$. Enfin toute matrice de la forme $ {\bf D}(\hbox{\boldmath $\xi$})$ (respectivement $ {\bf D}(\hbox{\boldmath $\xi$}+ a)$, $ a \in \bbbc$) représente la matrice diagonale dont les composantes sur la diagonale principale sont $ \xi_1, \dots, \xi_n$ (respectivement $ \xi_1+a, \dots, \xi_n+a$).

L'égaliseur à retour de décision reposant sur le critère MMSE minimise l'erreur quadratique moyenne (MSE) définie par

$\displaystyle MSE(W,G)=E[\Vert\tilde{z} - z\Vert^2]~.$ (48)

Sachant que lors du calcul de l'égaliseur minimisant l'erreur quadratique moyenne, nous prendrons en compte la condition ([*]) en utilisant les multiplicateurs de Lagrange $ (\lambda_i)_{i=1, \dots, n}$. Nous noterons $ \hbox{\boldmath $\lambda$}$ le vecteur formé par ces multiplicateurs.

La recherche de l'égaliseur minimisant l'expression ([*]) se fait en la dérivant par rapport aux variables $W$ et $ G$ afin d'en déterminer les extrema, soit en déterminant le couple $ (W, G)$ vérifiant

$\displaystyle \frac{\partial MSE(W,G)}{\partial W} = \frac{\partial MSE(W,G)}{\partial G} = 0~. $

Pour cela, nous utilisons les règles rappelées ci-dessous

$\displaystyle \frac{\partial (A^h\Gamma^h\Gamma B)}{\partial \Gamma}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \Gamma^*A^*B^t$  
$\displaystyle \frac{\partial \Gamma^h}{\partial \Gamma}$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle \frac{\partial (A^h\Gamma B)}{\partial \Gamma}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A^*B^t$  
$\displaystyle \frac{\partial \Vert A- \Gamma B \Vert^2}{\partial \Gamma}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -A^*B^t + \Gamma^*A^*B^t$ (49)
où $ A=(a_1, \dots, a_n)^t, B=(b_1, \dots, b_n)^t$ et $ \Gamma=(\gamma_{ij})_{i,j=1,\dots, n}$.

Nous obtenons alors le système suivant (sans contrainte)

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} W M E[{\bf z}{\bf z}^h] M^h + W E[{\bf b... ...at{z}}{\bf\hat{z}}^h] + E[{\bf z}{\bf\hat{z}}^h] = 0 \\ \end{array} \right. ~.$

Du système d'équations ([*]) nous déduisons donc la valeur sans contrainte de $ G$

$\displaystyle G = \rho W M - \rho I_n ~.$ (50)

Il s'agit alors d'introduire ici la contrainte sur les coefficients diagonaux de $ G$ donnée par la formule ([*]), ce qui nous donne l'expression de $ G$ avec contrainte

$\displaystyle G = \rho W M - \rho I_n + {\bf D}(\hbox{\boldmath$\lambda$}) ~.$ (51)

Nous en déduisons, avec la première ligne du système ([*]) la valeur de $W$ avec contrainte

$\displaystyle W = {\bf D} (\frac{\rho \hbox{\boldmath$\lambda$}+ (1 - \rho^2)}{N_0}) M^h V$
où $ V = (v_{ij})_{i,j=1, \dots, n}$ est définie par $ \left( \frac{1-\rho^2}{N_0} MM^{h} + I_n \right) V = I_n$.

En remplaçant cette valeur de $W$ dans l'expression de $ G$ donnée par la formule ([*]) nous pouvons calculer la valeur des coefficients multiplicateurs de Lagrange permettant de satisfaire la condition ([*])

$\displaystyle \lambda_i = \rho \frac{N_0 + (\rho^2 -1)B_i}{N_0 + \rho^2 B_i}$ (52)
où $ B=(B_0, \dots, B_{n-1})$ avec pour tout $ i=1, \dots, n , \, B_i = \sum_{k=0}^{n-1}\sum_{l=0}^{n-1}m_{ki}v_{kl}m_{li}^{*}$.

Les expressions finales de $W$ et de $ G$ sont donc

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} W = {\bf D} (\frac{1}{\rho^2 B^{*}+N_0})... ...M^{h} V M - {\bf D} (\frac{\rho B^{*}}{\rho^2B^{*}+N_0}) \end{array} \right. ~.$ (53)


5.2 Résultats de simulation

Le décodeur DFE sous-optimal trouvé au paragraphe précédent est appliqué au décodage d'un réseau dense en grande dimension, le réseau de Barnes-Wall en dimension $ 256$ sur canal AWGN. L'entrée du filtre de retour est supposée parfaite (ou sans erreur) donc $ \rho=1$.

Le gain fondamental et le coefficient d'erreur du réseau $ BW_{256}$ sont donnés par la table [*], soit $ \gamma(BW_{256})=10.54$ dB et $ \tau(BW_{256})=325139443200$ respectivement. La valeur de ce gain fondamental nous apprend qu'une constellation finie extraite de ce réseau sera un bon alphabet de canal pour le canal à bruit additif blanc gaussien. En pratique, le gain effectif sera inférieur aux 10.54 dB théoriques du fait du fort coefficient d'erreur $ \tau(BW_{256})$. L'efficacité spectrale à laquelle nous transmettrons est liée à la structure même du réseau $ BW_{256}$ : si nous reprenons la formule du réseau donnée en formule ([*]), nous avons $ BW_{256} = 16 \bbbz^{256} + 8(256,255,2) + 4(256,219,8) + 2(256,93,32) + (256,9,128)$, donc pour émettre un point ${\bf x}$ du réseau il nous faudra $ 255+219+93+9$ bits, c'est-à-dire une efficacité spectrale de $ 2.25$ bits par dimension, ou encore $ \eta=4.5$ bits par symbole complexe.

Afin d'estimer les performances du réseau de Barnes-Wall lui-même, soit son efficacité par rapport au meilleur réseau possible en dimension 256, nous plaçons également sur la figure [*] une borne des performances optimales sur canal AWGN lorsque la modulation utilisée est un réseau de points en dimension 256, suivant en cela les travaux de Shannon [65].

Afin de comparer nos résultats avec la limite que représente le décodage ML, nous allons utiliser l'inégalité ([*]) qui nous fournit une borne fine sur la probabilité d'erreur par point $ P_{e_{point}}$ qu'il est possible d'obtenir théoriquement avec un décodeur ML. Nous en déduisons la probabilité d'erreur par bit $ P_{{e1}_{bit}}=\frac{1}{2} P_{e_{point}}$ pour le cas où l'étiquetage utilisé est aléatoire et la probabilité d'erreur par bit $ P_{{e2}_{bit}}=\frac{1}{128 \eta} P_{e_{point}}$ pour le cas où l'étiquetage utilisé est un étiquetage de Gray. Les courbes de $ P_{{e1}_{bit}}$ et de $ P_{{e2}_{bit}}$ sont tracées sur la figure [*] pour $ \eta=4.5$ bits par symbole, délimitant la zone hachurée de décodage ML. Cette efficacité spectrale, proche de $2$ bits par dimension, nous amène à comparer ces résultats avec les performances d'une MAQ-16. La figure [*] nous montre donc, comme nous l'avions prévu, que le gain pratique est bien inférieur au gain théorique puisqu'il est de $ 5.4$ dB.

Les performances du décodeur à retour de décision reposant sur le critère MMSE sont également présentées sur la figure [*] lorsqu'utilisé avec une constellation cubique extraite du réseau $ BW_{256}$. Il est indéniable que le décodage selon le critère MMSE est loin d'atteindre les performances ML sur le canal AWGN. Le décodeur MMSE élimine complètement l'interférence entre symboles générée par la structure du réseau, ce que l'on peut observer en comparant ses performances avec le $ BW_{256}$ à la courbe de la MAQ-16, mais il ne tire aucun avantage de la densité élevée de l'empilement.

Figure: Taux d'erreur binaire pour le réseau de Barnes-Wall $ BW_{256}$ avec une efficacité spectrale $ \eta/2=2.25$ bits par dimension.
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=chapter1/goodcomp-BW256-2.25bits-jolifr.eps}\end{center}\end{figure}



6. Conclusions

Après avoir rappelé les notions élémentaires de la théorie des réseaux de points, nous nous sommes intéressés dans ce chapitre à leur décodage, rappelant la technique de décodage par sphères, reposant sur le critère ML mais limitée à de petites dimensions, et proposant un nouvel algorithme de décodage par égalisation à retour de décisions selon le critère sous-optimal de minimisation de l'erreur quadratique moyenne. En effet, le critère à maximum de vraisemblance étant inapplicable pour des dimensions élevées pour des raisons numériques évidentes, le critère MMSE apparaît comme un moyen de résoudre le problème du décodage des réseaux de points en grandes dimensions. Cependant, notre DFE présente des performances décevantes sur le canal à bruit additif blanc gaussien. Le gain fondamental du réseau, provenant de la grande densité du réseau, n'est pas exploité par le critère MMSE qui réalise son optimisation dans l'espace des entiers ${\bf z}$ et non dans l'espace des points ${\bf x}$ du réseau. Le DFE ne peut en fait que supprimer l'interférence entre symboles générée par le réseau lui-même. Nous restons donc malheureusement bien loin des performances optimales des réseaux, dont Urbanke et Rimoldi [73] ont prouvé récemment qu'ils atteignaient la capacité du canal gaussien dans le cas d'un décodage à maximum de vraisemblance.

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Dernière modification : 14 décembre 2003
Last modification: Dec., 14th, 2003

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C. Lamy-Bergot et C. Bergeron, "Procédé permettant de déterminer des paramètres de compression et de protection pour la transmission de données multimédia sur un canal sans fil (procedure for determining compression and protection parameters for transmission of multimedia data over a wireless channel)", Application FR 06.05882 (in French), filled June 29th, 2006. Patent granted (FR 2903272).
C. Lamy-Bergot et C. Bergeron, "Procédé de protection de données multimédia au moyen de couches d\'abstraction réseau (NAL) supplémentaires (procedure for protection multimedia data by supplementary network abstraction layers (NAL))", Application FR 06.02380 (in French), filled March 17th, 2006. Patent granted (CA2646870, FR2898754, JP5374768, KR101353128, US8769383).
C. Lamy-Bergot et C. Bergeron, "Procédé de chiffrement sélectif compatible pour flux (compatible selective encryption procedure for video streams)", Application FR 04.13746 (in French), filled December 22th, 2004. Patent granted (FR2879878, US8160157).
C. Lamy-Bergot et C. Bergeron, "Procédé de mise en forme de trames d'une séquence vidéo (Procedure to organise frames in a video sequence)", Application FR 04.08802 (in French), filled August 10th, 2004. Patent granted (FR2874292, JP4654244, US8284846).
C. Lamy et P. Vila, "Procédé de transmission d'informations supplémentaires par compression d'en-tête (Method for transmitting additional information by compression of the header)", Application FR 03.09553 (in French), filled August 1st, 2003. Patent granted (FR2857194).
C. Lamy et P. Vila, "Procédé de transmission d'informations supplémentaires par compression d'en-tête (method for transmitting supplementary information with header compression)", Application FR 03.08235 (in French), filled July 4th, 2003. Patent granted (FR2857182) later merged with FR2857194 above.
D. Nicholson et C. Lamy, "Procédé et système de protection de données avec en tête dans un système de transmission (method and system for protecting data with headers in a transmission system)", Application FR 03.02881 (in French), filled March 7th, 2003. Patent granted (US7302632, FR2852180).
- C. Lamy, "Method of building a variable-length error code", European patent application number 03 290801.4., filled March 28th, 2003. Patent application published as WO2004086632, then withdrawn.
C. Lamy, "Method of building a variable-length error code", European patent application number 03 290714.9, filled March 20th, 2003. Patent granted (US7266755).
C. Lamy, "Method of building a variable-length error code", European patent application number 03 290604.2, filled March 11th, 2003. Patent granted (US7178094).
- S. Mérigeault, C. Lamy and N. Vanhaelewyn, "Récepteur destiné à traiter une unité de données reçue via un réseau (Receiver for processing a data unit)", European patent application number 02 14035 (filled in French), filled November 8th, 2002. Patent application published as WO2004043038, then withdrawn.
C. Lamy, "Method of building a variable-length error code", European patent application number 02 292624.0, filled October 23th, 2002. Patent granted (US7222283).
C. Lamy, "Method and device for source decoding a variable-length soft-input codewords sequence", European patent application number 02 292223.1, filled September 11th, 2002. Patent granted (US7249311).
- C. Lamy and S. Mérigeault, "Method of correcting an erroneous frame by a receiver", European patent application number 02 06501, filled May 28th, 2002. Patent application published as WO03101028, then withdrawn.
- C. Lamy, L. Meilhac and S. Mérigeault, "System for transmitting additional information via a network", European patent application number 02 290950.1, filled April 16th, 2002. Patent application published as WO03051016, then withdrawn.
- C. Lamy and S. Chabbouh, "Signal processing method, and corresponding encoding method and device", European patent application number 01 403034.0, filled November 27th, 2001. Patent application published as WO03047112, then withdrawn.
L. Meilhac and C. Lamy, "Method of decoding a variable-length codeword sequence", European patent application number 01 402911.0, filled November 13th, 2001. Patent granted (DE60207440, EP1449306).
C. Lamy and O. Pothier, "Method of decoding a variable-length codeword sequence", European patent application number 01 401349.4, filled May 22th, 2001. Patent granted (US6891484, EP1397869, DE60215807).

Journal papers (15)
B. Baynat, H. Khalifé, V. Conan, C. Lamy-Bergot and R. Prouvez, "On the Design of Automatic Link Establishment in High Frequency Networks", International Journal of Networking and Computing (IJNC), vol. 7, n.2, pp.419-446, July 2017. doi: 10.15803/ijnc.7.2_419.
C. Lamy-Bergot, R. Fracchia, G. Feher, G. Jeney, M. Mazzotti, J. Zhuo, G. Panza, E. Piri, T. Sutinen, J. Vehkapera and P. Amon, "Optimisation of Multimedia over wireless IP links via X-layer design: an end-to-end transmission chain simulator", SPRINGER Multimedia Tools and Applications journal, special issue on Mobile Media Delivery, vol.55, n. 2, pp.261-288, November 2011. doi: 10.1007/s11042-010-0571-6.
C. Lamy-Bergot and B. Gadat, "Embedding Protection Inside H.264/AVC and SVC Streams", EURASIP Journal on Wireless Communications and Networking, Article ID 729695, 11 pages, August 2010. doi:10.1155/2010/729695.
Raphaël Massin, Catherine Lamy-Bergot, Christophe Le Martret and Roberta Fracchia, "OMNeT++ based cross-layer simulator for content transmission over wireless ad hoc networks", EURASIP Journal on Wireless Communications and Networking, Article ID 502549, January 2010. doi:10.1155/2010/502549.
Catherine Lamy-Bergot, Anissa Mokraoui-Zergainoh, Thomas André et Béatrice Pesquet-Popescu, "Panorama des techniques de codage/décodage conjoint et techniques de diversité adaptées à la transmission de flux vidéo et HTML sur lien IP sans fil point/multipoint", Revue Traitement du Signal, vol. 25, n. 5, Oct. 2008. (in French). IIETA reference: 10.3166/TS.25.417-448
J. Huusko, J. Vehkapera, P. Amon, C. Lamy-Bergot, G. Panza, J. Peltola and M.G. Martini, "Cross-layer architecture for Scalable Video Transmission in wireless networks", in 'Signal Processing: Image Communication', Elsevier, Special Issue on Mobile Video, vol. 22, issue 3, pp. 317--330, March 2007. This article has been cited as the most downloaded paper that was published in 2007 (as of 6 Feb. 2008) in Eurasip Newsletter June 2008. doi:10.1016/j.image.2006.12.011.
M.G. Martini, M. Mazzotti, C. Lamy-Bergot, J. Huusko and P. Amon, "Content adaptive network aware joint optimization of wireless video transmission", IEEE Communications Magazine, pp.84--90, January 2007. doi: 10.1109/MCOM.2007.284542.
C. Poulliat, C. Lamy-Bergot, D. Declercq and I.nbsp;Fijalkow, "Une comparaison de récepteurs source-canal conjoint utilisant des codes LDPC", Revue Traitement du Signal, vol. 23, n. 5-6, pp.425--437, Déc. 2006. (in French). IIETA reference: 10.3166/TS.23.425-437
C. Bergeron, C. Lamy-Bergot, G. Pau, and B. Pesquet-Popescu, "Temporal Scalability through Adaptive M-Band Filter Banks for Robust H.264/MPEG-4 AVC Video Coding", EURASIP Journal on Applied Signal Processing, Article ID 21930, 11 pages, March 2006. doi: 10.1155/ASP/2006/21930.
C. Poulliat, D. Declercq, C. Lamy-Bergot and I. Fijalkow, "Analysis and Optimisation of irregular LDPC codes for joint source-channel decoding", IEEE Communications Letters, vol. 9, n. 12, pp.1064-1066, December 2005. doi: 10.1109/LCOMM.2005.1576589.
D. Nicholson, C. Lamy-Bergot, X. Naturel and C. Poulliat, "JPEG 2000 backward compatible error protection with Reed-Solomon codes", IEEE Transactions on Consumer Electronics, vol. 49, n. 4, pp.855-860, Nov. 2003. doi: 10.1109/TCE.2003.1261166.
S. Chabbouh and C. Lamy, "A structure for fast synchronising variable-length codes", IEEE Communications Letters, vol. 6, no. 11, pp. 500-502, Nov 2002. doi: 10.1109/LCOMM.2002.805547.
C. Lamy and J. Boutros, "On Random Rotations Diversity and Minimum MSE Decoding of Lattices", IEEE Transactions on Information Theory, vol. 46, n0 4, pp. 1584-1589, July 2000. doi: 10.1109/18.850699.
C. Lamy, "Communications à grande efficacité spectrale sur le canal à évanouissements", Ph.D. dissertation, École Nationale supérieure des Télécommunications, Paris, France, April 2000 (ENST 2000 E08, ISSN 0751-1353 ENST E).
C. Lamy and J. Boutros, "Décodage à sortie souple des réseaux de points", Annales des Télécommunications, vol. 53, n0 9-10, pp.353-360, Oct. 1998. doi: 10.1007/bf02998501

Conferences (35)
C Bergeron, Catherine Lamy-Bergot, W. Hammidouche and W. Puech, "Selective secret sharing scheme for privacy of image and video compressed in MPEG-like formats," Proceedings of IEEE International Workshop on Multimedia Processing (MMSP`23), Poitiers, France, September 2023.
Iyad Lahsen-Cherif, Huan Liu and Catherine Lamy-Bergot, "Real-Time Drone Anti-Collision Avoidance Systems: an edge Artificial Intelligence Application," Proceedings of IEEE Radar Conference (RadarConf22), New York City, USA, May 2022. doi: 10.1109/RadarConf2248738.2022.9764175
J-Y. Bernier, B. Ravera and C. Lamy-Bergot, "HF-XL airborne trials over the Atlantic," Proceedings of Nordic HF conference, Fårö, Sweden, August 2022. (conference website)>
J-Y. Bernier, P. Crambert, C. Lamy-Bergot and J-L. Rogier, "Integration of IP services over High Data Rate HF capabilities," Proceedings of Nordic HF conference, Fårö, Sweden, August 2019. (conference website)
J. Guyot, C. Lamy-Bergot, S. Charlot, B. Chauvel, L. Gaulier and B. Letellier, "Monitoring of internal and external conditions during a flight test to ensure an efficient Validation procedure," Proceedings of European Test and Telemetry Conference (ETTC'19), Toulouse, France, June 2019. (conference website and book of abstracts)
F. Benbadis, H. Khalifé and C. Lamy-Bergot, "Efficient Scheduling for Planned Robot Networks," Proceedings of the 25th International Conference on Telecommunications (ICT), Saint-Malo, France, June 2018. doi: 10.1109/ICT.2018.8464849
C. Lamy-Bergot, J-L. Rogier, J-Y. Bernier, J-B. Chantelouve, P. Stevens and P. Crambert, "Time-division approach in HF wideband: surfing the wave to offer a better performance," Proceedings of IEEE Military Communications Conference (MILCOM 2017), Baltimore, USA, Oct. 2017. doi: 10.1109/MILCOM.2017.8170744
C. Lamy-Bergot, A. Kermorgant, F. Gourgue, J-Y. Bernier, H. Diakhaté and J-L. Rogier, "Wideband HF transmissions: operating in a crowded spectrum," Proceedings of Nordic HF conference, Fårö, Sweden, August 2016. (conference website)
R. Prouvez, B. Baynat, H. Khalife, V. Conan and C. Lamy-Bergot, "Modeling Automatic Link Establishment in HF Networks," IEEE Military Communications Conference (MILCOM 2015), Tampa, Florida, USA, pp. 1630-1635, 26-28 Oct. 2015. doi: 10.1109/MILCOM.2015.7357678
C. Lamy-Bergot, J-B. Chantelouve, J-L. Rogier, H. Diakhaté and B. Gouin, "Improved error correction for Stanag 4539 appendix H proposal: HF XL," IEEE Military Communications Conference (MILCOM 2015), Tampa, Florida, USA, pp. 1182-1187, 26-28 Oct. 2015. doi: 10.1109/MILCOM.2015.7357606
B. Baynat, R. Prouvez, H. Khalifé, V. Conan, C. Lamy-Bergot "Modélisation d'un mécanisme de prise de ligne dans les réseaux de communication HF," ALGOTEL 2015, 17èmes Rencontres Francophones sur les Aspects Algorithmiques des Télécommunications, Beaune, France, Juin 2015. (in French) (conference website)
C. Lamy-Bergot, J-B. Chantelouve, J-Y. Bernier, H. Diakahté and J-L. Rogier, "HFXL: adaptive wideband HF transmissions," Proceedings of Nordic HF conference, Fårö, Sweden, August 2013. Best paper award granted by the Nordic Radio Society (NRS).
C. Lamy-Bergot, S. Herry, J-Y. Bernier and F. Ngo Bui Hung, "On-air tests results for HFXL wideband modem," Proceedings of Nordic HF conference, Fårö, Sweden, August 2013. (conference website)
C. Lamy-Bergot and B. Gadat, "Application control for fast adaptive error resilient H.264/AVC streaming over IP wireless networks," Proceedings of IEEE ICASSP'11, pp.2332-2335, Prague, Czech republic, May 2011. doi: 10.1109/ICASSP.2011.5946950.
R. Fracchia, B. Gadat and C. Lamy-Bergot, "End-to-end application control of video streaming: implementation and performance evaluation," Proceedings of IEEE VTC Spring'11, pp.1-5, Yokohama, Japan, May 2011. doi: 10.1109/VETECS.2011.5956542.
R. Fracchia and C. Lamy-Bergot, "P2ProxyLite: efficient video streaming in wireless ad-hoc networks," Proceedings of IEEE PIMRC'10, Sept. 2010, Istanbul, Turkey. doi: 10.1109/PIMRC.2010.5671637
C. Lamy-Bergot, E. Renan, B. Gadat and D. Lavaux, "Data supervision for adaptively transcoded video surveillance over wireless links," Proceedings of the IEEE Int. Conf. on ITS Telecommunications (ITST`09), Oct. 20-22 2009, Lille, France. doi: 10.1109/ITST.2009.5399319
C. Lamy-Bergot, S. Ambellouis, L. Khoudour, D. Sanz, N. Malouch, A. Hocquard, J-L. Bruyelle, L. Petit, A. Cappa, A. Barro, E. Villalta, G. Jeney and K. Egedy, "Transport system architecture for on board wireless secured A/V surveillance and sensing," Proceedings of the IEEE Int. Conf. on ITS Telecommunications (ITST`09), Oct. 20-22 2009, Lille, France. doi: 10.1109/ITST.2009.5399290.
C. Lamy-Bergot, B. Candillon, B. Pesquet-Popescu and B. Gadat, "A simple multiple description coding scheme for improved peer-to-peer video distribution over mobile links," Proceedings of the IEEE Picture Coding Symposium (PCS`09), April 23rd-25th 2009, Chicago, US. doi: 10.1109/PCS.2009.5167432.
C. Lamy-Bergot, G. Panza, A. Rotondi and L. Fratta, "Analysis and Optimization of a JSCC/D System on 4G Networks," Proceedings of the IEEE International Symposium on Spread Spectrum Techniques and Applications (ISSSTA`08), August 2009, Bologna, Italy. doi: 10.1109/ISSSTA.2008.52.
C. Bergeron and C. Lamy-Bergot, "Modelling H.264/AVC sensitivity for error protection in wireless transmissions," Proceedings of the International Workshop on Multimedia Processing (MMSP`06), pp.302--305, Victoria, Canada, Oct 2006. doi: 10.1109/MMSP.2006.285318.
C. Lamy-Bergot, N. Chautru and C. Bergeron, "Unequal Error Protection for H.263+ bitstreams over a wireless IP network," Proceedings of the IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing (ICASSP`06), pp. V-377/V-380, Toulouse, France, May 2006. doi: 10.1109/ICASSP.2006.1661291.
C. Bergeron and C. Lamy-Bergot, "Compliant selective encryption for H.264/AVC video streams," Proceedings of the International Workshop on Multimedia Processing (MMSP`05), pp. 477-480, Shanghai, China, Oct-Nov 2005. doi: 10.1109/MMSP.2005.248641.
C. Poulliat, C. Lamy-Bergot and I. Fijalkow, "Une comparaison de récepteurs source-canal conjoint utilisant des codes LDPC," Proceedings 20ème colloque GRETSI sur le traitement du signal et des images (GRETSI 2005), pp. 957-960, Louvain-la-Neuve, Belgium, Sept. 2005 (in French).
C. Poulliat, D. Declercq, I. Fijalkow and C. Lamy-Bergot, "On different LDPC-based joint source-channel optimised decoding schemes," Proceedings of the VIth IEEE workshop on Signal Processing Advances in Wireless Communications (SPAWC`05), pp.415--419, New York, USA, June 2005. doi: 10.1109/SPAWC.2005.1506058.
C. Bergeron, C. Lamy-Bergot and B. Pesquet-Popescu, "Adaptive M-band hierarchical filterbank for compliant temporal scalability in H.264 standard," Proceedings of the IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing (ICASSP`05), Philadelphie, USA, March 2005. Print ISBN: 0-7803-8874-7. doi: 10.1109/ICASSP.2005.1415343
C. Bergeron and C. Lamy-Bergot, "Soft-input decoding of variable-length codes applied to the H.264 standard," Proceedings of the IEEE International Workshop on Multimedia Signal Processing (MMSP`04), pp. 87-90, Sienna, Italy, Sept. 2004. doi: 10.1109/MMSP.2004.1436425.
C. Lamy-Bergot and P. Vila, "Multiplex header compression for transparent cross-layer design," Proceedings of the IEEE International Conference on Networking (ICN`04), pp. 1084-1089, Pointe-à-Pitre, French Polynesia, March 2004.
C. Lamy and L. Perros-Meilhac, "Low complexity iterative decoding of variable-length codes," Proceedings of the Picture Coding Symposium (PCS`03), pp. 275-280, April 23rd-25th 2003, St-Malo, France.
C. Lamy and F-X. Bergot, "Lower bounds on the existence of binary error-correcting variable-length codes," Proceedings of the IEEE Information Theory Workshop (ITW`03), pp. 300-303, March 31st-April 4th 2003, Paris, France. doi: 10.1109/ITW.2003.1216753
C. Lamy and J. Paccaut, "Optimised constructions for variable-length error correcting codes," Proceedings of the IEEE Information Theory Workshop (ITW`03), pp. 183-186, March 31st-April 4th 2003, Paris, France. doi: 10.1109/itw.2003.1216725
S. Mérigeault and C. Lamy, "Concepts for Exchanging Extra Information Between Protocol Layers Transparently for the Standard Protocol Stack," Proceedings of the IEEE 10th International Conference on Telecommunications (ICT`2003), February 23 - March 1, 2003, Tahiti, French Polynesia. doi: 10.1109/ICTEL.2003.1191572.
L. Perros-Meilhac and C. Lamy, "Huffman tree based metric derivation for a low-complexity sequential soft VLC decoding," Proceedings of the IEEE ICC`02, vol. 2, pp. 783-787, New York, USA, April-May 2002. doi: 10.1109/ICC.2002.996962.
C. Lamy and O. Pothier, "Reduced complexity Maximum A Posteriori decoding of variable-length codes," Proceedings of the IEEE Globecom`01, vol. 2, pp. 1410-1413, San Antonio, USA, November 2001. doi: 10.1109/GLOCOM.2001.965727.
J. Boutros, F. Boixadera and C. Lamy, "Bit-interleaved coded modulations for multiple-input multiple-output channels," Proceedings of the 2000 IEEE Sixth International Symposium on Spread Spectrum Techniques and Applications (ISSSTA`00), vol. 1, pp. 123-126, New Jersey, USA, September 2000. doi: 10.1109/ISSSTA.2000.878095.
C. Lamy and J. Boutros, "Soft-Output MSE Decoding of Lattices," Proceedings of DSPCS`99, Perth, Australia, 2-4 Feb 1999.

Books chapters / books contributions (2)
Catherine Lamy-Bergot and Gianmarco Panza, "Cross-Layer Joint Optimization of Multimedia Transmissions over IP Based Wireless Networks", in Book Fourth-Generation (4G) Wireless Networks: Applications and Innovations, 2010, Ed. IGI Global. DOI: 10.4018/978-1-61520-674-2.ch021
Theodore Zahariadis, Catherine Lamy-Bergot, Thomas Schierl, Karsten Grüneberg, Luca Celetto, Christian Timmerer, "Content Adaptation Issues in the Future Internet", in Towards the Future Internet - A European Research Perspective, IOS Press, Ed. G. Tselentis et al., 2009. ISBN 978-1-60750-007-0. Available on line here for order. doi: 10.3233/978-1-60750-007-0-283.

Unclassified standardisation bodies (4)
D. Nicholson, C. Lamy-Bergot and X. Naturel, "Selecting default RS codes for EPB marker: RS performances with discussion on GF(16) and GF(256)," ISO/IEC JTC1 SC29 WG1 N3084, Lausanne, Switzerland, Nov. 2003.
D. Nicholson, C. Lamy-Bergot and X. Naturel, "Transmission of JPEG 2000 images over a DRM system: error patterns and modelisation of DRM channels," ISO/IEC JTC1 SC29 WG1 N3083, Lausanne, Switzerland, Nov. 2003.
D. Nicholson, C. Lamy-Bergot, C Poulliat and X. Naturel, "Result of Core Experiments on 'Header error protection' (JPWL C01)," ISO/IEC JTC1 SC29 WG1 N2935, Lausanne, Switzerland, May 2003.
D. Nicholson, C. Lamy-Bergot, C Poulliat and X. Naturel, "Backward Compatible Header Error Protection in a JPEG 2000 codestream," ISO/IEC JTC1 SC29 WG1 N2851, Seoul, Korea, Mar. 2003.

Workshops and Seminars (29)
J-Y. Bernier, P. Crambert, C. Lamy-Bergot and J-L. Rogier, "Integration of IP services over High Data Rate HF capabilities," HFIA meeting, Stockholm, Sweden, August 2019.
C. Lamy-Bergot, J-L. Rogier, P. Crambert, J-Y. Bernier and G. Venuti "HFXL Sea Trials on French BPC in Mediterranean Sea," HFIA meeting, Kjeller, Norway, September 2017.
C. Lamy-Bergot, P. Crambert, J-M. Elzaouk, J-L. Rogier, J-Y. Bernier, M. Dhakouani and G. Venuti "Conclusions on antennas impacts and software evolutions for non-contiguous availability measurements," HFIA meeting, San Diego, USA, February 2017.
J-Y. Bernier, C. Lamy-Bergot, J-L. Rogier and H. Diakhaté "Conclusions on antennas impacts and software evolutions for non-contiguous availability measurements," HFIA meeting, Stockholm, Sweden, August 2016.
C. Lamy-Bergot, P. Crambert and M. Rabineau "ST5066 TDD approach for wideband HF transmissions," HFIA meeting, San Diego, USA, February 2016.
P. Dejean de la Bâtie, J-L. Rogier, M. Dhakouani and C. Lamy-Bergot J-L. Rogier "Noise floor variability: analysis of long term spectrum records," HFIA meeting, Brussels, Belgium, September 2015.
C. Lamy-Bergot and P. Crambert "ST5066 strategies for high data rate HF transmissions," HFIA meeting, San Diego, USA, February 2015.
H. Diakhaté, J-L. Rogier, J-Y. Bernier and C. Lamy-Bergot "Transmitting in wideband: practice and learnings," HFIA meeting, Portsmouth, UK, September 2014.
C. Lamy-Bergot, H. Khalifé, J-B. Chantelouve, H. Diakahté and J-L. Rogier, "Empowering HF systems with cognitive wideband radio capabilities," Proceedings of NATO IST 123/RSY-029 symposium on Cognitive radio & Future networks, The Hague, Netherlands, May 2014.
C. Lamy-Bergot, J-B. Chantelouve and H. Diakhaté "Wideband HF transmissions: towards wideband ALE," HFIA meeting, San Diego, USA, February 2014.
C. Lamy-Bergot, H. Diakhaté, J-Y. Bernier and O. Delestre "On-air HFXL experimental results," HFIA meeting, Stockholm, Sweden, August 2013.
C. Lamy-Bergot, J-B. Chantelouve, J-Y. Bernier, H. Diakhaté and J-L. Rogier "HF XL modem," HFIA meeting, San Diego, USA, January 2013.
C. Lamy-Bergot, J-B. Chantelouve and C. Leménager "Spectrum issues for HF wideband communications," HFIA meeting, York, UK, September 2012.
E. Bader and C. Lamy-Bergot, "HF XL: an alternative 4G solution," HFIA meeting, San Diego, USA, January 2012.
P. Fouillot, R. Massin, C. Lamy-Bergot, I. Herbin and G. Multédo, "Collision reduction in random access slots for TDMA tactical mobile ad hoc networks," Int. workshop on tactical mobile ad hoc networking, MobiHoc conference, Paris, France, 16-19 May 2011.
R. Fracchia, C. Lamy-Bergot, G. Panza, J. Vehkapera, E. Piri, T. Sutinen, M. Mazzotti, M. Chiani, S. Moretti, G. Jeney, L. Bokor, Z. Kanizsai and M.G. Martini, "System architecture for multimedia streaming optimisation," Future Network and MobileSummit 2010 conference proceedings (ISBN: 978-1-905824-16-8), Florence, Italy, June 2010.
Catherine Lamy-Bergot, Roberta Fracchia, Janne Vehkaperä, Tiia Sutinen, Esa Piri, Matteo Mazzotti, Gianmarco Panza, Gábor Feher, Gábor Jeney, and Peter Amon, "Optimisation of Multimedia over wireless IP links via X-layer design: an end-to-end transmission chain simulator," European Symposium on Mobile Media Delivery, Kingston, UK, Sept. 2009.
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Catherine Lamy-Bergot, Alvaro Cappa et al., "BOSS: on Board wireless secured video surveillance", posters of demonstration presented during 1st NEM Summit 2008, St Malo, France, Oct. 2008.
Catherine Lamy-Bergot, Maria G. Martini, Pierre Hammes, Peter Amon, Janne Vehkaperä, Gianmarco Panza, Lajos Hanzo, Marco Chiani, Gábor Jeney, Gábor Feher and David Tarrant, "Optimisation of Multimedia over wireless IP links via X-layer design", European Symposium on Mobile Media Delivery, Oulu, Finland, July 2008.
Gianmarco Panza, Luigi Fratta, Alessandro Rotondi and Catherine Lamy-Bergot, "An Architectural Analysis and Evaluation of a JSCC/D System on 4G Networks", ICT Mobile Summit 2008, Stockholm, Sweden, June 2008.
Gábor Jeney, Catherine Lamy-Bergot, Xavier Desurmont, Rafael Lopez da Silva, Rodrigo Álvarez García-Sanchidrián, Michel Bonte, Marion Berbineau, Márton Csapodi, Olivier Cantineau, Naceur Malouch, David Sanz, Jean-Luc Bruyelle, "Communications Challenges in the Celtic-BOSS Project", 7th International Conference on Next Generation Teletraffic and Wired/Wireless Advanced Networking (NEW2AN), pp.-431-442, St Petersburg, Russia, Sept. 2007.
M. G. Martini, M. Mazzotti, C. Lamy-Bergot, P. Amon, G. Panza, J. Huusko, J. Peltola, G. Jeney, G. Feher, S. X. Ng, "Joint optimisation of multimedia transmission over an IP wired/wireless link", European Symposium on Mobile Media Delivery, Alghero, Sardinia, Italy, September 2006.
M. G. Martini, M. Mazzotti, C. Lamy-Bergot, P. Amon, G. Panza, J. Huusko, J. Peltola, G. Jeney, G. Feher, S. X. Ng, "A Demonstration Platform for Network Aware Joint Optimization of Wireless Video Transmission", IST mobile summit, Mykonos, Greece, June 2006.
Maria G. Martini, Matteo Mazzotti, Marco Chiani, Gianmarco Panza, Catherine Lamy-Bergot, Jyrki Huusko, Gabor Jeney, Gabor Feher, Soon X. Ng, "Controlling Joint Optimization of Wireless Video Transmission: the PHOENIX Basic Demonstration Platform", IST mobile summit, Dresden, Germany, June 2005.
E. Roddolo, G. Panza, C. Lamy-Bergot, P. Amon, M. Martini, G. Jeney, L. Hanzo and J. Huusko, "Joint source and channel (de)coding in 4G networks: the PHOENIX project", in Seventh International Symposium on Wireless Personal Multimedia Communications (WPMC`04), Padova, Italy, Sept. 2004.
C. Lamy-Bergot, P. Amon, C. Bergeron, M. Chiani, V. Conan, D. Dardari, G. Feher, L. Hanzo, J. Huusko, M. Martini, G. Panza, J. Peltola, E. Roddolo and B. Leong Yeap, "Optimising multimedia transmission in IP based wireless networks: the PHOENIX project", IST mobile summit, Lyon, France, June 2004.
D. Nicholson, C. Lamy-Bergot, X. Naturel and C. Poulliat, "JPEG 2000 backward compatible error protection with Reed-Solomon codes", 1st workshop on JPEG2000, pp.50-55, Lugano, Switzerland, July 2003.
L.Camiciotti, C. Lamy, L. Meilhac, S.Olivieri and P. Verdi, "Joint source-channel coding for 4G mutimedia streaming," 2nd WWRF meeting, WG3, Helsinki, Finland, May 10-11, 2001.

Others (1)
Pascal Janne, Christine Reynaert et Catherine Lamy-Bergot, "Les strates de l'intime conjugal," Thérapie Familiale, revue internationale en approche systémique, vol. 30, n.4, 2009. (in French). ISSN: 0250-4952, doi:10.3917/tf.094.0465. The article can be found on CAIRN site here.
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